[CSP-S 2024] 染色

CCF在CSP卡常我是没想到的

一眼DP，尝试设$f_i$表示前$i$个的最大价值，假设在$i$前面第一个涂与$i$相同颜色的方块是$j$，就会发现$[j+1,i-1]$的价值没办法确定，主要是$j+1$的价值没办法确定。此时的情形是$j$和$j+1$的颜色不同，于是可以加维设$f[i][0/1]$表示前$i$个的最大价值，其中$i$和$i-1$的颜色相同/不同，于是有

$$f[i][0]=max(f[i-1][0],f[i-1][1])+\{\begin{array}{ll}0& \text{if }a[i]\ne a[i-1]\\ a[i]& \text{if }a[i]=a[i-1]\end{array}$$

$$f[i][1]=\underset{j<i-1}{max}(f[j+1][1]+\text{val}(j+2,i-1)+\{\begin{array}{ll}0& \text{if }a[i]\ne a[j]\\ a[i]& \text{if }a[i]=a[j]\end{array})$$

，其中$\text{val}(i,j)$表示$[i-1,j]$是相同颜色，$[i,j]$的总贡献.这个用前缀和处理就好了，即$\text{val}(i,j)=su{m}_j-su{m}_{i-1}$，于是有

$$f[i][1]=\underset{j<i-1}{max}(f[j+1][1]-su{m}_{j+1}+\{\begin{array}{ll}0& \text{if }a[i]\ne a[j]\\ a[i]& \text{if }a[i]=a[j]\end{array})+su{m}_{i-1}$$

对于这个式子，不难以$a[i]$为下标建立线段树找最大值，然后实现$O(Tn\log V)$的复杂度
可惜，CCF这次卡常，而且我优化不掉，于是只能使用其他技巧
想一下，我们现在要干的事是找出$[1,a[i]-1]$和$[a[i]+1,V]$中的最大值，以及$a[i]$的DP值加上$a[i]$.如果我们直接找$[1,V]$的最大值，那么显然那可以$O(1)$时间，但是如果找出来的地方是$a[i]$呢？其实不影响，因为此时一定有$f[j+1][1]-su{m}_{j+1}+a[i]>f[j+1][1]-su{m}_{j+1}$

这个优化以前没见过，的确可以看一下