trick

一般地，有

$$e^{iz}=\cos z+i\sin z$$

$$e^{-iz}=\cos z-i\sin z$$

于是有

$$\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$$

$$\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$$

由于复数指数函数全平面解析，所以$\sin z$全平面解析

上面的方法是将三角函数换成指数函数的方法

如果要利用柯西黎曼方程，则

$$f(z)=\sin z=\sin (x+iy)=\sin x\cos (iy)+\cos x\sin (iy)$$

将其中的$\cos (iy)$和$\sin (iy)$换成指数函数就可以分离出实部和虚部了