宝藏

这里主要讲一下蓝书法一的等效方法的正确性。假设我们已经知道了最终的答案的树的样子，设为$T$，设高度为$h$，则答案为$f[h,(1<<n)-1]$；设高度为$h$的节点集合为$S$，那么我们可以知道，在$T$中删掉$S$中的节点得到的新树的$T_1$的代价就等于$f[h-1,(1<<n)-1-S]$，如若不然，就说明$T_1$的代价严格大于$f[h-1,(1<<n)-1-S]$，此时向$f[h-1,(1<<n)-1-S]$所代表的树加上$S$（并且拓展的深度代价视为$h-1$）得到树$T_2$，可知$T_2<T$，这就与$T$是最优解矛盾，所以$T_1$的代价就等于$f[h-1,(1<<n)-1-S]$，于是可以直接按照深度代价为$i-1$拓展，不会计算错误；同理可以证明，在$T_1$中删掉所有高度为$h-1$的节点（设为$S_1$）后得到的树$T_3$的代价仍然等于$f[h-2,(1<<n)-1-S-S_1]$，依次类推，最终得到的答案就不会计算错误

然后讲一下蓝书的第二种方法，看了好久总算给我看懂了。我们考虑如下一种赋予树的边的深度权值的方法（每个节点都有唯一的指向父亲的边，以这个节点指代这条边）：父亲的深度权值一定严格大于儿子的深度权值；所有边的深度权值一定为整数且不超过$n$。设所有这种树的集合为$S$，那么我们要求的最优的树也一定在$S$中，我们只用求出$S$中元素最优的一个就是答案。$f[i,j]$其实表示的是所有满足树的深度权值不超过$i$且这个树的节点由$j$组成的树中的最优解。不难知道，此时$j$是二进制的话是推不走的，所以$j$必须要是三进制，一个很自然的想法就是$j$中为$2$的点表示的是这个点的深度权值为$i$，于是不能再从这个点往下拓展一层了。我们先不看书上的第三种转移，并且将第二种转移从只枚举$x$变成枚举所有为$1$的点，这样子是正确的，但是时间复杂度太大了，于是我们改成只枚举$x$，并且加入第三种转移，此时$j$中为$2$的节点不仅仅表示深度权值为$i$的点了，还表示不会继续拓展的点，之所以要这么表示是为了不遗漏最优答案，这样子表示之后就相当于进行了上面的枚举所有为$1$的点的操作了