有源汇上下界最大流

设题目给的图是$G$，其源点汇点分别是$s,t$

假设我们先求有源汇上下界可行流，我们发现此时跟无源汇上下界可行流的差别就是$s,t$没有流量守恒，于是我们添加一条边$(t,s)$，其容量限制为无穷，设添加边后的图为$G_1$，那么$G$的可行流与$G_1$的可行流（注意$G_1$没有源点汇点，所以每个点都满足流量守恒）一一对应（对于$G$的一个可行流$f$，令$G_1$的边$(t,s)$的流量为$|f|$，其余边的流量与$G$中对应的边的流量相同，得到了$G_1$的一个流$f^{{}^{\prime }}$，不难知道$f^{{}^{\prime }}$与$f$一一对应），于是就转化成了无源汇上下界可行流：对$G_1$添加虚拟源点汇点$S,T$得到图$G_2$，对$G_2$跑dinic，此时得到$G_2$的最大流$f$满足$S$的每条出边都是满的，$T$的每条入边都是满的（如果不满足，那么说明有源汇上下界可行流无解，有源汇上下界最大流肯定也无解了）

现在尝试解决有源汇上下界最大流，先直接给出做法：设上述dinic过程跑出的$G_2$的最大流$f$诱导出的残存网络为$G_3$，在$G_3$中删掉$(t,s)$这条边后将$s,t$当做源点和汇点跑dinic，设跑出的最大流为$f_1$，那么答案就是$|f|+|f_1|$

证明：此时跑出来的增广路一定不包含$(t,s),S,T$（因为增广路是简单路径，所以不包含$(t,s)$；因为$G_3$中$S$只有入边所以一旦进入$S$就出不去了，不可能到达$t$，所以不包含$S$；因为$G_3$中$T$只有出边所以无法进入$T$，所以不包含$T$），这个dinic结束之后，$s,t$流量不守恒，将$f$与$f_1$相加，并令$G_2$中$(t,s)$的权值为$|f_1|$，此时不难验证仍然得到了$G_2$的一个最大流；对于$G_2$的任何一个最大流$f_2$，将$f_2$与$f$相减得到$f_3$