无源汇上下界可行流

注意这里给的有向图不是一个网络，因为是没有源点汇点的；相当于就是构造一个流函数$f$（定义域是每条边），使其满足流量守恒和容量限制

我们没学过有下界的一般图的最大流算法，所以这里尝试转化成无下界的网络最大流算法；也就是说对于原图$G$，我们要构造一个新网络$G_1$，使得$G$的一个可行流$f$可以与$G_1$中的一个可行流一一对应，如果能够成功构造，我们求解$G_1$的最大流就是原图的一个可行流；这样做肯定有问题，因为显然$G$可能是无解的，而$G_1$一定是有解的，所以不可能做到一一对应，也就是说对于$G_1$的一个可行流可能无法在$G$中找到一个可行流对应（因为无解），于是猜测$G_1$的可行流集合大于$G$的可行流集合，所以我们换一种对应方法，尝试将$G$的可行流与$G_1$的最大流一一对应（因为$G_1$的可行流集合也一定大于$G_1$的最大流集合）；对应成功后，求解$G_1$的最大流就是$G$的可行流

对于$G$的一个可行流$f$，有$min(u,v)\le f(u,v)\le max(u,v)$，由于下界要变成$0$，所以写成$0\le f(u,v)-min(u,v)\le max(u,v)-min(u,v)$；于是一个naive的想法就是对于$G_1$的每条边$(u,v)$的容量限制限制为$max(u,v)-min(u,v)$就行了；但是这样会有一个问题，这样子设置就会导致不知道$G_1$的源点汇点是干嘛的，而且好像与我们上面分析的"$G$的可行流与$G_1$的最大流一一对应"没有什么关系，并且$G_1$求解的最大流对应回$G$后，$G$不一定满足流量守恒；分析一下为什么不满足流量守恒，设$in[x]=\sum _{u\in V}min(u,x),out[x]=\sum _{u\in V}min(x,u)$，那么当$in[x]>out[x]$的时候，我们从$G_1$对应回$G$的时候，进入$x$的流量增加的量会多与从$x$出去的流量增加的量，而在$G_1$中，进入$x$的流量等于$x$出去的流量，这就会导致$G$中流量不守恒（$in[x]<out[x]$同理分析）；于是我们要想办法减少$G_1$中进入$x$的流量，让其最开始就小于从$x$出去的流量，然后对应回去的时候就满足流量守恒了；这个时候就要让源点汇点干事情了，如果$in[x]>out[x]$，那么在$G_1$中连接边$(s,x)$，权值为$in[x]-out[x]$，如果$in[x]<out[x]$，那么在$G_1$中连接边$(x,t)$，权值为$out[x]-in[x]$；此时再对$G_1$跑最大流，如果$G_1$的最大流等于$s$出边的权值之和，那么就说明$G$有可行流，对应回去就可以了（如果$G_1$的最大流等于$s$出边的权值之和的话，$G$的任意一个可行流也可以对应到$G_1$的最大流），否则说明$G$无解（如果有解的话，对应过来显然是$G_1$的一个流，而且这个流是等于$s$出边的权值之和，而$G_1$的最大流不会超过$s$出边的权值之和，这就与$G_1$的最大流不等于$s$出边的权值之和矛盾）