飞行员配对方案问题

借助这道题目，讲一下所有最大流建模的思路

对于原问题的解集$S$和我们建模之后的网络的可行流集合$T$，我们需要证明$\mathrm{\forall }s\in S,\mathrm{\exists }t\in T,|s|=|t|$（前面一个绝对值符号表示$s$的值，后面一个绝对值符号表示$t$的最大流）且$\mathrm{\forall }t\in T,\mathrm{\exists }s\in S,|s|=|t|$（其实上面的证明方法也就是充分必要性证明）

那么对于二分图的建模见蓝书，来像上面证明一下，见黑书P429引理26.9

注意：其实在我们构造二分图的流的时候，有可能会构造出来一个流不是整数的流，此时没办法对应二分图；所以我们的可行流集合$T$要限定一下，规定是整数可行流，此时可以将$S$和$T$一一对应；但黑书上的证明是基于有理数集合的，我们在FF的时候跑出来的最大流是可行流集合（而不是整数可行流）的的最优解，所以这个时候我们还需要证明跑出来的最大流是整数；由于我们Dinic过程中任意时刻$\text{maxflow}$都是整数而且最后没有增广路，所以得证（也就是黑书P430定理26.10）