光之大陆

题目求的就是点仙人掌的数量；点仙人掌的所有环缩点之后就变成了一棵树，于是考虑无根树的数量怎么求，很显然利用Prufer序列就好了；然后考虑怎么将Prufer序列移植到点仙人掌上面，此时就要利用扩展Prufer序列

扩展Prufer序列：对于一个点仙人掌来说，先将所有环缩点变成一棵树，然后将所有缩点离散化（就是重新编号），指定编号最大的为根；执行Prufer操作，首先选择一个度数为$1$的且编号最小的缩点，删除其，并向prufer序列中添加其与父亲的连边的另一端点（注意另一端点是原图上的点，不是缩点的编号），并重复以上的操作，如下

黑色是原图的编号，红色是缩点的编号；我们最开始选择缩点$1$，然后发现另一端是点$3$，于是prufer序列的第一个为$3$（不是$2$）

由以上过程可知，如果我们知道了Prufer序列，有多少个缩点，每个点在哪个缩点内部，就可以唯一确定这个仙人掌；所以我们只需要解决以上三个问题就好了

有多少个缩点：枚举就好了，设有$i$个缩点，于是$1\le i\le n$；为了方便，我们设点$n$所在的缩点编号为$i$（这样是为了不重复计数）

每个点在哪个缩点内部：利用递推解决。设$f[i][j]$表示将$i$个点分为$j$个缩点，并且每个缩点不是根（也就是说每个缩点都有父亲）的方案数。$$f[i][j]=\stackrel{i-j}{\sum _{k=0}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{i-1}{k})\frac{(k+1)!}{2}f[i-k-1][j-1]$$
，这一式子的意义是：我们假设第$j$个缩点包含$i$，从$1$ ~ $i-1$中选出$k$个点与$i$一起在缩点$j$中；考虑圆排列的个数是$k!$，由于翻转是同一种，所以总数即$\frac{k!}{2}$，而缩点$j$是有父亲的，于是选择一个点与父亲相连，乘以$k$；最后剩下$i-k-1$个点分成$j-1$个缩点（注意我们不的缩点大小要么是$1$，要么不低于$3$，也就是不能为$2$，至于为什么下面说）

Prufer序列的个数：这个比较简单，为$n^{i-2}$

最终的答案：$$ans=\frac{(n-1)!}{2}+\stackrel{n}{\sum _{i=2}}\stackrel{n-i}{\sum _{j=0}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{j})\frac{j!}{2}(j+1)f[n-j-1][i-1]n^{i-2}$$
，这一式子的意义是：枚举缩点个数$i$，其中$i$包含$n$，再枚举$j$个点与$n$一起在缩点$i$中；由于考虑圆排列（去除对称）个数为$\frac{j}{2}$，由于其没有父亲，所以不用乘$j+1$；然而在Prufer序列最后剩两个点的时候，唯一的一条边可以连接$j+1$个点中的任意一个，所以乘以$j+1$；再将剩下的$n-1-j$个点分为有父亲的$i-1$个缩点，方案数为$f[n-j-1][i-1]$；最后乘以Prufer序列个数（注意这里也不能算大小为$2$的缩点）

不算大小为$2$的缩点的原因：会重复计数。比如下图

这个仙人掌既有可能在三个点单独为缩点的时候被统计，还有可能在相邻两个点为缩点，另一个点单独成为缩点的时候被统计

没看懂yxc那个代码的思路。。。