[COCI2017-2018#5] Planinarenje

这道题目是二分图博弈的板子

介绍一下二分图博弈：

设两部的节点分别为$x_1,x_2,...,x_n$和$y_1,y_2,...,y_m$，先手选择了$x_i$这个节点，则先手必胜当且仅当$x_i$是最大匹配的必须点（也就是说少了$x_i$的话最大匹配数会减少）

证明：

任选一个最大匹配，则$x_i$为匹配点，先手的策略是每次都选择$x_i$对应的匹配点$y$；在后手选择的时候，无论如何都不会选择到当前匹配下的非匹配的$x$，这是因为如果选择到了，比如说$x_1-y_1-x_2-y_2-···-x_k$，其中$x_k$不是当前匹配下的匹配点，那么我们可以让$y_1$匹配$x_2$，$y_2$匹配$x_3$，···，$y_{k-1}$匹配$x_k$从而获得一个匹配数不变的匹配而且不包含$x_i$，这与$x_i$为必须点矛盾，所以先手必胜

如果说先手选择了非必须点$x_i$，那么任选一个不包含$x_i$的最大匹配，先手走到的$y$一定是匹配点（否则存在增广路）；进一步由在当前匹配的情况下从$x_i$出发不存在增广路可知，后手策略为每次选择当前匹配下$y$的匹配点$x$即可，所以先手必败

至于寻找必须点，洛谷题解给了几种方法；我想到了一种，先随便找出一个最大匹配，然后枚举匹配点$x$，设其匹配点为$y$，那么我们考虑是否存在非匹配点$x^{{}^{\prime }}$使得$y$与$x^{{}^{\prime }}$之间有边，如果有的话就说明$x$不是匹配点（应该是正确的，但是还没有验证，正确性基于交错树分析吧）