后缀数组

先介绍计数排序。思考一下桶排序，桶排序是不稳定的。计数排序相当于是稳定的桶排序，时间复杂度为$O(\mathrm{值}\mathrm{域})$

设数组$a$的值域为$[1,n]$，数组$c$表示每个元素的数目（也就是桶），数组$r[i]$表示$a[i]$的排名（注意这个排名是稳定的，也就是说当有多个$a[i]$的时候，相对顺序不会变化），然后对$c$求前缀和，这样$c[i]$就表示小于等于$i$的数有多少个（下面的$c$都表示已经求了前缀和的$c$）。然后倒序循环数组$a$，循环到$a[i]$的时候，令$r[i]=c[a[i]]$，并令$c[a[i]]$减一

正确性：假设有若干个$k$，我们现在只关心$k$。那么我们知道，最终排完序的$a$数组，严格小于$k$的有$c[k-1]$个，也就是说$k$的排名最低是$c[k-1]+1$，最高是$c[k]$；而由于要稳定，所以原数组$a$中最后一个$k$的排名是$c[k]$，最前面的一个$k$的排名是$c[k-1]+1$；我们倒序循环，由于$c$求了前缀和，上述过程刚好帮我们完成了排序工作

接下来进入正题，介绍后缀数组。下文默认字符串下标从$1$开始，那么长度为$n$的字符串$s$一共有$n$个后缀，第$i$个后缀就是$s[i...n]$

后缀数组涉及三个数组：$sa,rk,height$。$sa[i]$表示$s$所有后缀中，排名为$i$的后缀是第几个后缀；$rk[i]$表示$s$的第$i$个后缀的排名；$height[i]$表示排名第$i$位的后缀与排名第$i-1$位的后缀的最长公共前缀（$\text{lcp}$），特别有$height[1]=0$

然后先求$sa$。下文的$x[i]$表示按照前$k$个字母排序的前提下，$s$的第$i$个后缀的离散化之后的值（若不同后缀的前$k$个字母相同，则离散化之后的值相同），$m$表示离散化值域，$y[i]$数组表示排名为$i$的是第几个后缀（最后也会作为辅助数组）

第一步：将所有后缀按照第一个字母稳定地排序（利用计数排序）

for(int i=1;i<=n;i++) c[x[i]=s[i]]++;
//这里由于字符集不大，所以桶的大小直接开成字符集大小，离散化按照字符离散化
for(int i=2;i<=m;i++) c[i]+=c[i-1];
for(int i=n;i;i--) sa[c[x[i]]--]=i;

第二步：假设我们已经对所有后缀按照前$k$个字母稳定地排好了序，我们接下来将所有后缀按照前$2k$个字母稳定地排序。

外层循环：for (int k = 1; k <= n; k <<= 1)

我们先按照所有后缀的第$k+1$ ~ $2k$个字母排序（这里不要求稳定），然后再按照所有后缀的第$1$ ~ $k$个字母排序（这里要求稳定）；由于不可能存在两个后缀相同，所以经过上面两次排序之后，得到的$sa$一定是按所有后缀按照前$2k$个字母稳定地排序得到的

先进行第一次排序：

对于$\mathrm{\forall }i\in [n-k+1,n],s[i...n]$是没有前$2k$个字母的，由于空字符串的字典序小于任何字符串，所以我们直接按照顺序将其放入$y$中即可

int num = 0;
for (int i = n - k + 1; i <= n; i ++ ) y[ ++ num] = i;

对于$i\in [1,n-k],s[i...n]$的第$k+1$ ~ $2k$个字母就是$s[i+k...i+2k]$（长度不够的用空字符串补齐），于是比较$s[i...n]$的第$k+1$ ~ $2k$个字母就是比较$s[i+k...i+2k]$，也就是$s$的第$i+k$个后缀的前$k$个字母，而此时我们的$sa[i]$刚好记录了按照前$k$个字母排序，排名为$i$的后缀，于是我们从小到大循环$i$，若$sa[i]>k$，则将$sa[i]-k$放入$y$数组即可

for (int i = 1; i <= n; i ++ )
if (sa[i] > k) y[ ++ num] = sa[i] - k;

再进行第二次排序：

首先按照前$k$个字母进行计数排序

for (int i = 1; i <= m; i ++ ) c[i] = 0;
for (int i = 1; i <= n; i ++ ) c[x[i]] ++ ;
for (int i = 2; i <= m; i ++ ) c[i] += c[i - 1];
for (int i = n; i; i -- ) sa[c[x[y[i]]] -- ] = y[i];

然后将$y$作为辅助数组记录所有后缀按照前$k$个字母排序的离散化数值

swap(x, y);

然后更新$x$，让$x[i]$表示s的第$i$个后缀按照前$2k$个字母排序的离散化数值（注意此时$y[i]$表示的是$s$的第$i$个后缀按照前$k$个字母排序的离散化数值，所以$s$的第$i$个后缀的第$k+1$ ~ $2k$个字母就是$s$的第$i+k$个后缀的前$k$个字母）

x[sa[1]] = 1, num = 1;
for (int i = 2; i <= n; i ++ )
if(y[sa[i]]==y[sa[i-1]]&&y[sa[i]+k]==y[sa[i-1]+k]) 
x[sa[i]] = num;
else x[sa[i]]=++num;

注意y[sa[i]]==y[sa[i-1]]&&y[sa[i]+k]==y[sa[i-1]+k]是不会越界的，因为

最后，如果离散化值域达到了$n$，则说明排序完成，否则的话令$m$为离散化值域重复上述过程

if (num == n) break;
m = num;

上述倍增法的时间复杂度为$O(n\log n)$

求$height$见OI-wiki

补充一个$\text{lcp}$的性质：设$i<j$，则$\text{lcp}(i,j)=\stackrel{j}{\underset{k=i}{min}}(\text{lcp}(i,k),\text{lcp}(k,j))$，其中$k$是任取的（证明见视频00:37:20）；由这个性质不难得出，如果想求$\text{lcp}(i,j)$的话，求一下$\text{lcp}(i,i+1),\text{lcp}(i+1,i+2),...,\text{lcp}(j-1,j)$并取最小值就好了