Fancy Coins

感觉这个凑的题目都是分类讨论

1.$n\le k\times a_k$，显然先将$a_k$一直取到不能取为止（如果最终方案不是这样，我们可以将方案中的$k$个面值为$1$的硬币或者$1$个面值为$k$的fancy coin替换为一个面值为$k$的regular coin，答案肯定不会更差），于是$n$%$=k$

1).$n\le a_1$，答案显然为$0$

2).$n>a_1$，答案显然为$n-a_1$

2.$n>k\times a_k$，与上面的分析相同，仍然先把$a_k$个$k$取走，于是$n-=k\times a_k$

1).$n\le a_1$，答案显然为$0$

2).$n>a_1$，注意到$a_1$如果不取完，那么最终的方案一定是不包含面值为$1$的fancy coin的，接下来的讨论围绕这个进行

①.$n<k$，此时最终方案不可能包含面值为$k$的fancy coin，于是答案显然为$n-a_1$

②.$k\le n$，此时方案可能会包含面值为$k$的fancy coin，考虑此时有多少个面值为$1$的regular coin

i.$a_1>0$

case 1:$a_1$全部取完了，此时显然一直取面值为$k$的fancy coin直到不能取了为止，剩下的全为面值为$1$的fancy coin

case 2:$a_1$没有全部取完，此时一定不存在面值为$1$的fancy coin，设取了$t$个面值为$k$的fancy coin，则$0\le n-tk\le a_1$，这个不等式必须有解才考虑这个case（否则只能考虑case 1），$t=\lceil \frac{n-a_1}{k}\rceil$

ii.$a_1=0$，情况类似上面的case 1