Balanced String

这道题目真的不知道怎么总结了，这技巧太新了

见这篇题解

为什么最开始要引入这个子问题呢？实际上，我们假设我们已经得到了最终的交换后的答案，设为$t$，$s$就是题目给的原串，从$s$到$t$的最小交换次数当然就是从$t$到$s$的最小交换次数，于是考虑从$t$到$s$的最小交换次数，发现是$s,t$不相等的位置的个数

接下来的DP就围绕这个个数做文章。我们抛开题目的交换操作不看，直接构造$t$：每一个位置可以随便填$0/1$，$f_{i,j,k}$记录的就是所有长度为$i$的$0/1$串（一共有$2^i$个），满足所给条件的与$s$前$i$个字符不同的位置的最小个数。然后直接考虑$f_{n,cnt,0}$（其中$cnt$是$s$中$0$的个数），这个$f$根据最开始的子问题的分析，就是答案

update 2024.8.28

稍微想了一个简单一点的：假设我们已经获得了最终的答案$t$，可以发现最小交换次数就是$s$与$t$不同的位置的个数；于是设$f[i][j][k]$表示对于$s$前$i$个字符，将$0$改成$1$的个数减去将$1$改成$0$的个数的差为$j$，"10"减去"01"的个数为$k$的最小的将$0$改成$1$的个数，DP即可；最终答案为$f[n][0][0]$

但是这里要用滚动数组优化，记住滚动数组每次进入循环都要重新初始化，而且为了不超时，转移的时候一定要加上判断，保证由于转移的状态是上个阶段的合法状态