Sorting By Multiplication

严谨证明其实真的很难

设每次操作为$(l,r,x)$，其中$l,r$表示操作的左右端点，$x$表示乘以的值

首先我们知道，最后由于严格升序，所以数列分成三段，第一段为负数，第二段为$0$，第三段为正数；操作之间的顺序无关紧要；操作之间不会跨段：如果有跨段，那么一定是跨了三段（只跨两段的话，有一段就是$0$，就相当于没有跨段）；如果某个跨段的操作的$x$为负数，设为$(l,r,x)$，那么所有满足左端点为$l$右端点为$r$的段的个数一定是偶数，所以可以将所有$x$取反，也就是说此时所有跨段的操作的$x$都是正数，而这种段的作用只有可能让$＜$变成$\ge$，为负作用，还不如不要，于是可以去掉；所以不存在跨段的操作

实际上不会有乘以$0$的操作（也就是数列不会出现$0$）。假设有$(l,r,0)$，由于最后严格升序，所以$l=r$；而对任意一种包含$(l,l,0)$的方案，我们都可以去掉$(l,l,0)$，并将正数段的所有操作的$x$变成一个很大的值（但是不改变正数段的严格升序性）来使得序列仍然满足条件

于是现在分别考虑两段的操作。

对于正数段，可以将所有操作的$r$变成$n$而不改变严格升序性，这样的话一次操作最多只能让一个$\ge$变成$＜$，所以$\ge$的个数就是答案

对于负数段，我们先考虑所有形如$(1,r,x)$的操作。这些操作显然有奇数个（因为$a_1$是负数）。设这些操作的$r$的最大值为$r_{\text{max}}$，那么任取一个$(1,r_{\text{max}},x)$，并将其他所有的$(1,r,x)$的$x$取绝对值，显然不会改变序列的样子；此时再对$[2,r_{\text{max}}]$考虑同样的事情，将每一个$a_i$被负数覆盖的次数变成刚好为一次，即就是$(1,r_{\text{max}},x)$；然后从$r_{\text{max}}+1$开始重复，最后会发现所有的负数段互相不重叠，且之间没缝隙；此时我们将所有正数段的$l$全部变成$1$（这样显然不改变严格升序性），然后全部放在负数段里面，具体来说，被整个正数段完整跨过的负数段的$x$乘以这个正数段的$x$，没有完整跨过的的负数段拆成两段，前一段的$x$乘以这个正数段的$x$，后一个的$x$不变，如下

这样操作次数显然不变且序列不变；最终负数段就会变成互不重叠且之间没有空隙的段；而一个负数段会将其内部的符号全部取反，所以一个负数段的内部的符号一定没有$\le$，所以$\le$的个数就是下界