串珠子

置换群通常用来解决一些涉及「本质不同」的计数问题，例如用$3$种颜色给一个立方体染色，求本质不同的方案数（经过翻转后相同的两种方案视为同一种）

置换：将$1,2,3,...,n$映射到一个打乱之后的$1$ ~ $n$的排列$p_1,p_2,...,p_n$。可以用一个函数来表示，$f(p)=q$（其中$p,q$是排列）。注意置换是函数$f$，而不是排列

循环置换：将$1,2,3,...,n$映射到$2,3,4,...,1$。如果建图，点$i$向$i(\mathrm{mod}n)+1$连边的话，会发现形成了一个环。若两个循环置换不含有相同的元素，则称它们是不相交的

置换的乘积：映射函数的复合

性质：任意一个置换都可以拆分成若干个不相交的循环置换的乘积

证明：对一个置换建图，从$i$向$p_i$连边，可以发现每个点的出度和入度都是$1$，所以这个图由若干个环构成，于是显然

置换群：对$1$ ~ $n$的所有置换（一共有$n!$种）构成的集合是一个群，叫做置换群。不难验证置换群的子群也是置换群

群作用：与陪集一样，有左群作用和右群作用，下面以左群作用为例。设现有集合$S$和群$G$，如果存在一个映射$\varphi :G\times S\to S$，满足以下条件：

1.$\mathrm{\forall }s\in S,\varphi (e,s)=s$（其中$e$是$G$中的单位元）

2.$\mathrm{\forall }g,h\in G,s\in S,\varphi (gh,s)=\varphi (g,\varphi (h,s))$

则称$G$作用在$S$上。

通俗来讲，就是对$G$中的每一个元素$g$，都构建一个映射$\varphi :S\to S$满足${\varphi }_g(x)=\varphi (g,x)$，并且单位元为恒等作用且乘积作用等于相继作用（也就是说对于一个属于$S$的元素$s$和两个属于$G$的元素$g,h$，先用$g$变换$s$再用$h$变换$s$的效果与直接用$gh$变换$s$的效果一样）

本质相同：设$G$作用于$S$。若$x,y\in S$，且存在$g\in G$，使得${\varphi }_g(x)=y$，那么就称$x,y$本质相同。

先证明本质相同关系是等价关系。定义本质相同关系$R$：$xRy⟺\mathrm{\exists }g\in G,{\varphi }_g(x)=y$

自反性：若$s\in S$，则${\varphi }_e(s)=s$

对称性：若$x,y\in S$且$xRy$，则$\mathrm{\exists }g\in G$，使得${\varphi }_g(x)=y$，则${\varphi }_{g^{-1}}(y)={\varphi }_{g^{-1}}({\varphi }_g(x))={\varphi }_{g^{-1}g}(x)={\varphi }_e(x)=x$

传递性：若$x,y,z\in S$且$xRy,yRz$，则$\mathrm{\exists }g,h\in G$，使得${\varphi }_g(x)=y,{\varphi }_h(y)=z$，则${\varphi }_{hg}(x)={\varphi }_h({\varphi }_g(x))=z$

于是可以用$S/G$表示在$G$作用下的商集

Burnside引理：$$|S/G|=\frac{\sum _{g\in G}|S^g|}{|G|}$$

其中$S^g=\{s|{\varphi }_g(s)=s\}$，也就是在$g$作用下不变的元素集合

Polya定理：是Burnside引理的一个具体应用，给出了特定情况下$|S^g|$的计算公式。设$A,B$是两个有限集合，$S$为$A$到$B$的所有映射组成的集合，$G$是作用在$S$上的置换群，则$$|S/G|=\frac{\sum _{g\in G}|B{|}^{c(g)}}{|G|}$$
，其中$c(g)$表示在$g$的作用下，将$g$拆分成若干个不相交的环的乘积之后，环的数量

置换群$G$作用在映射集合$S$上：比如$s\in S,s=\{1\to 1,2\to 2,3\to 1\}$，则也许$g(s)=\{1\to 2,2\to 1,3\to 1\}$。即保持定义域的顺序不变，变换值域的顺序

Polya定理也比较好理解，每个环的映射选择有$|B|$种，共有$c(g)$个环，所以有公式

一个具体的例子看OI-wiki

例子的解释看我们的：$A$是面的集合，标记为上下左右前后，$B$是颜色数量的集合，$G$就是置换群，题目要求我们算的就是等价类商集的大小

对于这道题目，有$|A|=n,|B|=m$，$G$一共有如下元素：

1.旋转：不妨全部设为顺时针旋转，于是有旋转的步数为$k=0,1,2,...,n-1$，此时我们要找出循环置换的个数，不难想到[SNOI2019] 数论一题的模型，可以知道循环置换的个数为$gcd(n,k)$

2.翻转：此时要分情况讨论。如果$n$是奇数，那么一条对称轴长成下面这个样子：

每条对称轴的循环置换的个数为$\frac{n+1}{2}$（注意包含自环），一共有$n$条这样的对称轴

如果$n$是偶数，那么一条对称轴长成下面两个样子：

第一个样子：

每条对称轴的循环置换的个数为$\frac{n}{2}+1$，一共有$\frac{n}{2}$条这样的对称轴

第二个样子：

每条对称轴的循环置换的个数为$\frac{n}{2}$，一共有$\frac{n}{2}$条这样的对称轴

不难验证上面的$G$为群，于是就做完了