食物

给定一个有穷或者让无穷数列{$a_0,a_1,...$}，则称$g(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+...(-1<x<1)$为原数列的一个生成函数

本质就是将问题转换为多项式问题，从而利用多项式的性质去解决问题

一些生成函数的化简见OI-wiki封闭形式

例题：现有$1g,2,g,3g$的砝码各一个，问能称出多重的物品，以及每个重量的物品被称出的方法数

我们先用DP的角度看待这个问题，设$f[i][j]$表示用前$i$个砝码可以称出重量为$j$的物品的方案数，则$f[i][j]=f[i-1][j-weight[i]]+f[i-1][j]$

然后我们再用多项式的角度去看待这个问题，设系$a_i$表示称出重量为$i$的物品的方案数，此时我们像DP一样，一个阶段一个阶段地考虑问题。对于第一个砝码，有$f_1(x)=1+x$（常数项的系数$a_0$为$1$，表示用第一个砝码称出重量为$0$的物品的方案数是$1$；$x$的系数$a_1$为$1$，表示用第一个砝码称出重量为$1$的物品的方案数是$1$）；对于前两个砝码有$f_2(x)=f_1(x)(1+x^2)=1+x+x^2+x^3$（$(1+x^2)$与上面的解释一样，这里之所以要两者乘起来就是利用了多项式相乘指数相加的原理，即$f_1(x)$中的$a_i{x}^i$的$a_i$已经存储了用前一个砝码称出重量为$i$的物品的方案数，我们现在又知道了用第二个砝码称出重量为$j$的方案数$a_j$，那么这一个组合对“用前两个砝码称出重量为$i+j$的物品的方案数”的贡献就是$a_i{a}_j$，此时系数刚好相乘即乘法原理而$x$的指数相加刚好表示称出$i+j$的物品的方案数）；对于前三个砝码有$f_3(x)=f_2(x)(1+x^3)=1+x+x^2+2x^3+x^4+x^5+x^6$。最终得到的这个式子的系数就分别说明了方案数；或者也可以用整体来考虑，直接写出$f(x)=(1+x)(1+x^2)(1+x^3)$，$f(x)$的展开式是从三个因子中各选一项来组成的，而三个因子各选一项也就代表了三个砝码的不同选择，相乘时用了乘法原理，合并同类项时用了加法原理

又比如三个砝码的数量分别是$2,+\mathrm{\infty },1$，那么生成函数就是$f(x)=(1+x+x^2)(1+x^2+x^4+x^6+...)(1+x^3)$

另一道例题：现有$n$个不同的苹果，每种苹果都有无穷多个，选出$k$个苹果，请求出方案数，要求用生成函数解决这个问题

不难知道$f_i(x)=(1+x+x^2+...)=\frac{1}{1-x}$，于是$f(x)=\stackrel{n}{\prod _{i=1}}{f}_i(x)$

用组合数学的角度看问题，即$x_1+x_2+...+x_n=n+k(x_i\ge 1)$，隔板法求得为$C_{n+k-1}^{n-1}$，也就是说$f(x)$展开式$x^k$对应的系数就是$C_{n+k-1}^{n-1}$（这也就是OI-wiki封闭形式五）

理解了上面的过程后，这道题目就非常简单了，具体见OI-wiki的解答就好了

注意化简的过程，最好把有穷级数也写成分数的形式，这样更好化简