Lexicographically Largest

看看官方题解，来用“exchanging argument”证明一下

假设不选最小的满足条件的$v$，选了个更大的$v_1$，那么对于最终的序列如果没有$a_i+i-v$，那么显然将$v_1$换成$v$更好，否则的话考虑$a_j+j-v_j=a_i+i-v(i<j)$，那么如果位置$j$可以选出一个$v^{{}^{\prime }}$使得$a_j+j-v^{{}^{\prime }}=a_i+i-v_1$，那么让$i$选$v$，$j$选$v^{{}^{\prime }}$答案不变，否则的话$j$任选一个$v_2$都有$a_j+j-v_2>a_i+i-v_1$，随便选一个$v_2$，再重复上述过程（i.e.考虑是否存在$k>j$，有$k$产生的数与此时$j$产生的数相同）

然后可以看看这个评论，他这么构造肯定是上界，但是我没有找到一种构造方法

update 2024.8.17

找到构造方法了。我们先将所有数加上下标得到新的数列（并将新数列从大到小排序）。如果说$S$是可重集的话，肯定就做完了。但现在$S$不是可重集，那么存在一种情况就是一些数可以被减一然后去填补空缺。举个例子，如果说新数列有三个$7$和两个$1$，那么答案显然就是7 6 5 1 0，也就是说两个$7$填补了$6,5$这两个空缺，一个$1$填补了$0$这个空缺。不难想到一种构造方法，在保证已有的非空缺不会成为空缺的情况下，将非空缺多余的数全部向前移动。比如上面这个例子，非空缺有$7$和$1$两个，$7$有三个副本，$1$有两个副本，我们在两个非空缺都至少保留一个副本的前提下，让剩余的副本向前移动。具体来说，我们观察新数列，假设$1$的第一个副本在$7$的第一个副本后面（比如新数列为7 1 1 7 7，那么$7$的第一个副本在位置一，$1$的第一个副本在位置二），那么我们把$1$放到多重集中（如果先放$7$的话，所有$1$的副本都会往前移动了），然后将新数列进行对应的改变（i.e.$1$的第一个副本后面所有的数全部减一），然后再考察这个新数列并重复上面的操作，用数学归纳法可以证明这个构造方法是上界