Local Deletions

好题，做的时候想到了对于一个询问，最多只会经历$O(logn)$次修改，在看了hint3之后也想到了转换考虑对象，即明白每一步操作只会在端点处发生变化

但是想到上面是不足以做这道题目的，来解释一下官方做法

官方做法最重要的想法就是先处理$[1,n]$，然后记录下每一层剩余的数组。这个其实也是离线处理。我们看到了不带修改的询问，可以想离线处理，但是我们以前都是离线处理询问，这里转换考虑对象，先离线处理序列，然后依次考虑询问，这种新思想可以记住

这段话什么意思？

举个例子，比如说当前询问问的是$[l,r]$，那么$x$就是$[l+1,r-1]$，$a,b$分别是原序列的第$l,r$项，所以我们求的是$f(y)$；那为什么原文要用“some layer”和$a,b$来表示，不直接说“the first layer”和"the $l$-th and $r$-th layer of the original sequence"呢？由下文，我们可以转换为子问题从而解决，所以要用“some layer”和$a,b$来表示

对于这一段

用"on the whole permutation"的表述当然是没错的，但是为了与理解相符合，我们理解成当前层，也就是前文所提到的"some layer"；然后后面说的那个什么$z$就不用管了，最关键的是$a$和$x$的左端点至少有一个会被删除（其实这个也挺关键的，我想到这个还是花了一些时间。具体来说就是转换对象，我最开始一直考虑每次操作后剩下的数，考虑对象为操作，而后面我考虑每个数在操作后是否会剩下，你就会发现这些数是否删除只与其邻居有关，所以根本不用关注整个数列，然后就可以发现这个结论了），这样就可以$O(1)$维护，并且形成子问题了