Koxia and Game

这道题目就看官方解答吧

本来这道题目是构造题，但是题目要求计数，计数肯定就很多了，所以我们不能像传统构造题一样，去想如何特殊地构造出一个序列来，这里就要去想满足条件的序列有什么共性，所以我们就假设已经找到了序列$c$，然后去想想Koxia怎么必胜

于是不难发现引理一（这个可以感性理解一下，如果给了Mahiru两种选择，就有可能破坏产生排列的性质）

但是引理二就不知道怎么发现的了，讲一下这个的理解：

由于这是ICG游戏，所以取逆否命题就好了，我们由于"impossible"，所以Mahiru怎么取都不可能取出一个排序（否则的话就"possible"了）

然后这个图论转化记住吧，感觉挺新的（$(a_i,b_i)$是无向边）

讲一下证明：一条无向边转化为有向边之后，认为终点就是这个组合里面被选择的i.e.，设这条有向边为$(a_i,b_i)$，那么就有$c_i=b_i$

然后从充分必要两个方向不难证明（注意$n$个点$n$条边就是基环树了，后面所说的也不难理解）

其实在构造这个图的时候就会发现是$n$个点$n$条边，所以脑子里面就要马上反应出这是基环树

update 2024.9.1

重新做一遍，比较容易地发现引理一了；证明也是像官方题解一样用的数学归纳法；引理二也比较好发现，只要你发现了引理一，你就可以知道$c_i$只能取$a_i$或者$b_i$（假设$a_i\ne b_i$），像这种两个只能选一个就可以用连续攻击游戏的并查集技巧了（有些时候像这种两个只能选一个也会使用2-SAT）