Yet Another Permutation Constructive

这道题目不用写，因为必须要求用kotlin语言

讲一下我做这道题目的过程

我最开始正着想，如果$k$比较大的话，我们就想一次删的数少一点，所以考虑一次操作有哪些数被保留，于是我们发现，原序列的极大值点会被保留，于是一次操作被保留的数最多的情况就是如下的波浪形：

然后我们就发现正着想很难构造了，于是我们就倒着想：

最后一次删完了的序列是这样：$$[n]$$

我们考虑倒数第二次删完之后序列长成什么样，我们有个直觉就是越大的数越在后面被删除，于是我们考虑此时剩下的数是$n-1$，也就是说序列此时是这样：$$[n-1,n]$$

那么对于倒数第三次，为了让上面两个数都不删除，我们必须要在中间插入$n-2$，即$$[n-1,n-2,n]$$

这也就是正着想的时候，我们想要构造波浪形

同理第四次即$$[n-1,n-3,n-2,n-4,n]$$

在这样一直插入下去；如果说插入了$1$但是$k$次操作还没有用完，那么就是无解，否则的话，当$k$次操作用完的时候，我们将剩余的还没有插入的数，按照$[1,2,3,...]$这样的顺序放在序列最前面即可

我们的构造方法与官方题解一样，但是官方题解的思路却跟我们完全不一样，但是是对我们的构造方法的严谨证明

update 2024.8.25

我们的构造思路是正难则反；官方题解的构造思路是利用已知构造未知，只不过是从$k$推到$k+1$；我重新做也想出来了一个利用已知构造未知，只不过是从$\frac{n}{2}$推到$n$：先手动构造出$n=2$和$n=3$的所有情形；假设我们现在要构造$(n,k)$，就先找到$(\lfloor \frac{n+1}{2}\rfloor ,k-1)$的构造方法，然后将所有数加上$\lfloor \frac{n+1}{2}\rfloor$，再在两个数之间依次插入$1,2,...,\lfloor \frac{n}{2}\rfloor$。比如说现在要构造$(5,3)$，就先找到$(3,2)$（有两种情况，不妨设是$[2,1,3]$），然后所有数加上$2$变成$[4,3,5]$，然后插入$1$变成$[4,1,3,5]$，再插入$2$变成$[4,1,3,2,5]$；不难证明上述方法的正确性。所以以后利用已知构造未知可以一步一步地构造（$k\to k+1$），也可以一半一半地构造（$n\to 2n$）