对KM算法的理解

假设我们当前循环到了$i$，$1$ ~ $i-1$都找到了匹配，而$i$没有找到匹配，我们要一直找$\delta$扩充交错树直到$i$找到了交错路我们才继续考虑$i+1$。设$T$为$A_i+\delta ,B_i-\delta$之前的交错树，$T^{{}^{\prime }}$为$A_i+\delta ,B_i-\delta$之后的交错树，$S$是$A_i+\delta ,B_i-\delta$之前的相等子图，$S^{{}^{\prime }}$是$A_i+\delta ,B_i-\delta$之后的相等子图

在第$i$个点找到增广路之前，每次都一定能够找到这么一个$\delta$吗？是可以的

假设我们已经找不到这么一个$\delta$了但是还是没有找到增广路。我们为什么会找不到这么一个$\delta$？是因为原图中不存在满足$i\in T,j\notin T$的边$(i,j)$了。我们考虑第$i$个点，这就说明与其关联的边$(i,j)$都已经被加入到相等子图中了（否则的话此时第$i$个点的交错树就不会包含这条边，因为这条边压根就没有被添加到相等子图中，而交错树的边肯定都是相等子图的边，也就是说原图中存在满足$i\in T,j\notin T$的边$(i,j)$）；由于此时我们还没有找到增广路，也就是说对每条与$i$关联的边的另一个端点$j$都是匹配点（否则$i\to j$就是一条增广路），考虑每个$j$的匹配点$matc{h}_j$，对每个$matc{h}_j$来说，与其关联的边$(matc{h}_j,k)$也都已经被加入到相等子图中了（否则的话此时第$i$个点的交错树就不会包含这条边，因为这条边压根就没有被添加到相等子图中，而交错树的边肯定都是相等子图的边，也就是说原图中存在满足$matc{h}_j\in T,k\notin T$的边$(matc{h}_j,k)$）；以此类推。然后考虑最终形成的这棵交错树是什么样子的呢？实际上就是我们将原图中所有的边都添加进这个相等子图中，然后第$i$个点跑出的交错树（因为与交错树中的左部节点关联的边全部被加入到了相等子图中）。然而，由于原图存在完备匹配，所以如果我们将原图中所有的边都添加进这个相等子图中，第$i$个点根本跑不出交错树，矛盾了，所以说明我们在第$i$个点找到增广路之前，一定能够找到这么一个$\delta$

然后验证在$A_i+\delta ,B_i-\delta$后，对原图（注意不是$S$和$S^{\prime }$，是数据给出的所有边和所有点组成的原图）中的任意一条边仍然满足顶标不等式：如果这条边两端都在交错树或者都不在交错树中，那么仍然满足不等式；如果这条边的右部在交错树中但是左部不在，那么由于右部增加了一个$\delta$而左部没变，所以这条边仍然满足不等式；如果这条边的左部在交错树中但是右部不在，由于我们找的$\delta$是最小的，所以仍然满足不等式

也就是说如果我们每次都能找到这么一个$\delta$，那么构建的新的相等子图$S^{\prime }$一定满足顶标不等式，也就说明P430的定理可以用

再来看看$S^{{}^{\prime }}$有至少哪些边：

对于匹配边，其两端要么都在交错树中要么都不在交错树中，不可能出现一端在一端不在的情况，所以匹配边仍然在$S^{\prime }$中

对于交错树上的边，显然每一条仍然在$S^{\prime }$中

上面两种边是我们至少包含在$S^{{}^{\prime }}$中的（$S$中的其他边就不用管了），故有$T^{{}^{\prime }}$为$T$的超集；而当所有满足$i\in T,j\notin T$的边$(i,j)$加入到$T$中之后，根据我们上面的分析，一定是会找到交错路的

综上我们能在满足顶标不等式的前提下找到一个带权最大匹配

代码熟悉一下