赛车游戏

这道题目看起来跟差分约束毫无关系，不要慌，我们一步一步来

首先我们大胆猜想，对任意一条边\((u,v,w)\)，有\(d_u+w=d_v\)，其中\(d\)数组是最短路数组（这个猜想也比较显然会往这个方向走），而且在此条件下，任意一种边权方案都符合题意

证：以下讨论基于所有点都能从\(1\)出发到达而且也能够到达\(n\)

假设我们已经标好了所有的边权，然后我们跑一次最短路，如果存在一条边\((u,v,w)\)使得\(d_u+w>d_v\)，那么就说明\(1->u->v->n\)这条路的边权是大于最短路的，矛盾，所以如果符合题意的话，任意一条边都满足\(d_u+w=d_v\)

注意现在所有点都能从\(1\)出发到达而且也能够到达\(n\)，所以可以假设图中一定不存在正环，此时是一个DAG，我们利用拓扑序进行归纳

以下过程认为不会一次性获得所有路径，而是会在拓扑排序中获得，比如下图

在\(1\)被删除之后，我们只会知道从\(1\)到\(2\)的路径有一条，从\(1\)到\(3\)的路径有一条；当\(2\)被删除之后，我们就又知道了从\(1\)到\(3\)的路径有两条

假设从\(1\)走到当前图的任意一个点的已经获得的路径的长度都一样，那么我们再当前图零度点走到非零度点的时候，由于任意边都满足\(d_u+w=d_v\)，所以对于这些非零度点，我们得到的新的从\(1\)到其的路径的长度与原来都是一样的，都是最短路的长度；然后一直到拓扑排序结束，可以知道结论正确

证毕

注意以上过程要求所有点都能从\(1\)出发到达而且也能够到达\(n\)，对于没有涉及的点，出现环了是无所谓的，所以我们要预处理一下