赛车游戏

这道题目看起来跟差分约束毫无关系，不要慌，我们一步一步来

首先我们大胆猜想，对任意一条边$(u,v,w)$，有$d_u+w=d_v$，其中$d$数组是最短路数组（这个猜想也比较显然会往这个方向走），而且在此条件下，任意一种边权方案都符合题意

证：以下讨论基于所有点都能从$1$出发到达而且也能够到达$n$

假设我们已经标好了所有的边权，然后我们跑一次最短路，如果存在一条边$(u,v,w)$使得$d_u+w>d_v$，那么就说明$1->u->v->n$这条路的边权是大于最短路的，矛盾，所以如果符合题意的话，任意一条边都满足$d_u+w=d_v$

注意现在所有点都能从$1$出发到达而且也能够到达$n$，所以可以假设图中一定不存在正环，此时是一个DAG，我们利用拓扑序进行归纳

以下过程认为不会一次性获得所有路径，而是会在拓扑排序中获得，比如下图

在$1$被删除之后，我们只会知道从$1$到$2$的路径有一条，从$1$到$3$的路径有一条；当$2$被删除之后，我们就又知道了从$1$到$3$的路径有两条

假设从$1$走到当前图的任意一个点的已经获得的路径的长度都一样，那么我们再当前图零度点走到非零度点的时候，由于任意边都满足$d_u+w=d_v$，所以对于这些非零度点，我们得到的新的从$1$到其的路径的长度与原来都是一样的，都是最短路的长度；然后一直到拓扑排序结束，可以知道结论正确

证毕

注意以上过程要求所有点都能从$1$出发到达而且也能够到达$n$，对于没有涉及的点，出现环了是无所谓的，所以我们要预处理一下

update 2024.8.17

出现了等式就可以用差分约束转化成不等式（而且差分约束刚好是一组符合条件的解，而这道题是构造也是让求一组符合条件的解）