bellmax-ford算的证明

设$dist[x]$表示源点到$x$的最短路的距离（图中无负环），若对图中任意一条边$(x,y,z)$满足$dist[y]\le dist[x]+z$，那么$dist$就是最短路数组

证：考虑任意一个点$a$，假设找出了一条源点到$a$的最短路径{$x_0,x_1,...,x_n,a$}，那么显然这条路径上$x_0$到任意一个点一定是最短路径；我们来证明对任意一个$x_i$有$dist[x_i]$为最短路径

对$x_1$来说，有$dist[x_1]\le dist[x_0]+z_{x_0->x_1}=z_{x_0->x_1}$，由于$z_{x_0->x_1}$是最短的，所以$dist[x_1]=z_{x_0->x_1}$，所以$x_1$满足

对$x_i$来说，若前面的点都满足$dist$为最短路数组，那么有$dist[x_i]\le dist[x_{i-1}]+z_{x_{i-1}->x_i}$；由于$dist[x_{i-1}]+z_{x_{i-1}->x_i}$表示的是最短路，所以$dist[x_i]=dist[x_{i-1}]+z_{x_{i-1}->x_i}$，得证

再证明一下时间复杂度。就按spfa来证明，spfa相当于BFS,满足两段性，所以我们再给队列中的每个元素加一个分量，表示这个元素所代表路径的边数，那么显然边数是逐渐递增的，每一层最多包含所有点，所有点全部走完所有边，于是复杂度为$O(nm)$