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非常好的一道练习懒标记的题目（这种题目就叫做多标记题目）

我们先不考虑维护总和，先分别维护两个量，$value$表示$p$号节点所代表区间的点的权值，$dis$表示$p$号节点所代表区间的点的距离和，$lazy$表示$p$号节点权值的懒标记，$dislazy$表示$p$号节点距离增量的懒标记

那么对于$dis$和$dislazy$来说就跟一般的维护区间加减一样了，非常简单

对于$value$和$lazy$来说，$p$节点所代表区间的权值可能不完全一样，这是这道题目最大的难点；如果说我们不考虑维护题目所要求的总和，只是维护一个权值，那么如果$p$所代表区间的所有点的权值都一样，那么$value$就为这个权值，否则的话$value$为$0$；然后这里跟"Atlantis"的维护非常像，我们就只考虑叶子节点，一个叶子节点真正的权值就是从这个叶子节点往根节点走，最后一个$lazy$所代表的权值

然后我们考虑维护题目所要求的总和

注意这里有两个标记需要下传，无论哪个标记下传（还是说两个都要下传），我们都要保证即将往子节点更新的时候，子节点的所有的量都已经被维护成了除了这次操作的最新的值（就是说比如这次操作是第$k$次操作，我们即将进入某一个节点$q$，那么进入的时候一定要保证$q$的所有的量是第$k-1$次操作之后的最新的值），并且在下传完之后，要保证子节点的值是包含这次操作的最新的值

那我们来看看这些量是否已经可以达到上述要求

我们先随意假设一个优先级，就假设权值的更新优先于距离的更新吧

假设现在$lazy$要下传，那么考虑$sum$如何变化，显然就是$sum=lazy\times dis$（其中$dis$是子节点的距离和，还没有更新的距离和）；如果说$dislazy$不下传，那么就没问题（因为就说明第$k-1$次操作之后的最新的$dis$的值就是我们之前使用的那个$dis$），如果说$dislazy$要下传，那么现在$dis$就要变化，减少$dislazy\times \mathrm{子}\mathrm{节}\mathrm{点}\mathrm{区}\mathrm{间}\mathrm{长}\mathrm{度}$，而由于前面下传了$lazy$，说明这个区间的权值都是一样的，故$sum=value\times dis$（此时$dis$已经被更新了）

假设现在$lazy$不下传，如果说$dislazy$也不下传，那么没有问题，因为就相当于没有任何更新，否则的话，$sum$应该如何变化呢？此时，由于这个区间的每一个点都要减少$dislazy$，那么每一个点对$sum$的贡献就会减少这个点的权值乘以$dislazy$，所以说$sum$就会减少$dislazy\times \mathrm{区}\mathrm{间}\mathrm{权}\mathrm{值}\mathrm{和}$。也就是说，我们现在维护的量是不够的，我们还要多维护一个区间权值和（注意不能用区间权值代替，因为点的权值可能不完全相同）

剩下的分析就跟上面差不多了，自己分析一下，然后根据代码对照一下

值得一提的是，这里其实到底是$lazy$优先级更高还是$dislazy$优先级更高是无所谓的

update 2024.7.29

更简单的方法

所以以后不一定非要直接维护题目给出的信息，也可以先选择进行变换一下再维护