数字表格

题目所求即

$$\prod _{i=1}^n\prod _{j=1}^m{f}_{gcd(i,j)}$$

由于没有出现$[gcd(i,j)=1]$，所以枚举$gcd$强行凑（下面对乘积的强行凑记住），原式就等于

$$\begin{gathered} \prod _{d=1}^{min(n,m)}\prod _{i=1}^n\prod _{j=1}^m{f}_{gcd(i,j)}^{[gcd(i,j)=d]} \\ =\prod _{d=1}^{min(n,m)}\prod _{p=1}^{\frac{n}{d}}\prod _{q=1}^{\frac{m}{d}}{f}_d^{\sum _{k|gcd(p,q)}u(k)} \\ =\prod _{d=1}^{min(n,m)}{f}_d^{\sum _{p=1}^{\frac{n}{d}}\sum _{q=1}^{\frac{m}{d}}\sum _{k|gcd(p,q)}u(k)} \\ =\prod _{d=1}^{min(n,m)}{f}_d^{\sum _{k=1}^{min(\frac{n}{d},\frac{m}{d})}u(k)\frac{n}{dk}\frac{m}{dk}} \end{gathered}$$

这个时候发现分块套分块会超时，所以使用莫比乌斯反演第二形式，令$T=dk$并优先枚举$T$，则原式等于

$$\prod _{d=1}^{min(n,m)}{f}_d^{\sum _{d|T}u(\frac{T}{d})\frac{n}{T}\frac{m}{T}}=\prod _{T=1}^{min(n,m)}\prod _{d|T}{f}_d^{u(\frac{T}{d})\frac{n}{T}\frac{m}{T}}=\prod _{T=1}^{min(n,m)}(\prod _{d|T}{f}_d^{u(\frac{T}{d})}{)}^{\frac{n}{T}\frac{m}{T}}$$

令$F(T)=\prod _{d|T}{f}_d^{u(\frac{T}{d})}$，则原式等于

$$\prod _{T=1}^{min(n,m)}F(T{)}^{\frac{n}{T}\frac{m}{T}}$$

预处理$F$后分块即可

注意这里预处理$F$就不能线性筛了，而是要用调和级数复杂度预处理