破译密码

莫比乌斯反演入门题目，但是先从容斥的角度理解这道题目

由于这道题目$a,b$的值在多组询问里可以不同，所以不用数论容斥，换一个角度，考虑把$k$除进去然后互质

所以主要就是解释一下$F[a,b]$是怎么推导的

我们从容斥原理的角度考虑。对于任意一个二元组$(x,y)$，如果$gcd(x,y)\ne 1$，那么$gcd(x,y)$一定是某一个质数的倍数

设$P_i$表示最大公约数的质数$i$的倍数的集合，那么我们要求的反面就是$|P_2\cup P_3\cup P_5...|$，将这个式子用容斥原理打开即可

然后我们震惊的发现，这个完全可以用莫比乌斯函数来描述。比如求$|P_2\cap P_3\cap P_5|$，就是求$2\times 3\times 5=30$的倍数的个数，其质因子的指数都为$1$（也就是所说的square-free number），所以莫比乌斯函数的值也就为$\pm 1$，而且符号刚好与容斥中的符号相符；至于对于莫比乌斯函数值为$0$的数，此时就是某个质因子的指数大于$1$了，刚好我们写成这种形式不会影响答案

所以以上模型可以记住

最后讲一下那个优化

由于$a$最多贡献$O(\sqrt{a})$个不同的值，$b$最多贡献$O(\sqrt{b})$个不同的值，所以两者放一起就是最多贡献$O(\sqrt{a}+\sqrt{b})$个值；像代码那么写的话，每一次一定会跳到某一个段的右端点，也就是$a$或者$b$贡献的不同值，所以最多也只会跳根号次

类似的简单容斥：Problem b

然后来讲一下莫比乌斯反演

莫比乌斯反演的基本操作就是将式子化出一个$[gcd(i,j)=1]$，然后利用公式$\sum _{d|gcd(i,j)}u(d)=[gcd(i,j)=1]$化简

基本步骤：

第一步，化出$[gcd(x,y)=1]$（如果没有就强行凑）

第二步，利用公式$\sum _{d|gcd(i,j)}u(d)=[gcd(i,j)=1]$将$[gcd(x,y)=1]$换掉

第三步，换序，将上面的$d$放到最外层枚举

换序这一步一般是最关键的，一般来说，出现了$x|i$这种式子，那么要么把$x$放在外层枚举（这个“外层”不一定是整个式子的最外层，比如三层循环的话，第二层也是第二层和第三层的外层），要么令$xk=i$，然后枚举$k$

当然上面说的是一般，有一种反例，也就是反演的第二形式，就要有限枚举$T$（$T$是什么看下面几道题目就知道了）

以上就是莫比乌斯反演题目的套路做法。然后还要提醒一个需要注意的小点，我们证明过$\lfloor \frac{n}{kd}\rfloor =\lfloor \frac{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }{k}\rfloor$，这个式子既有可能从左往右用也有可能从右往左用

那么对于这道题目的莫比乌斯反演解法就去看OI-wiki就好了，由于出现的是$[gcd(i,j)=k]$而不是$[gcd(i,j)=1]$，所以将$k$除进去就好了