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讲一下我的做法，不按照行向量考虑而是按照列向量考虑，将所有的$z$全部变成列向量然后进行初等行变换

我们先不管$z$的顺序，直接进行初等行变换，最后化出来一个行简化梯形矩阵，很显然的一个极大无关组就是每个非零行的第一个非零元所在的列（也就是非自由元所在的列）

于是一个很自然的想法就是我们先将所有$z$按照花费从小到大排序，然后进行初等行变换，最后按照上述的方法选择就是最优的方案

证明：最终的向量组一定包含花费最低的向量，否则的话花费最低的向量可以被极大无关组表出，而且系数不全为$0$，于是极大无关组的某个向量就可以被替换为这个花费最低的向量，并且可以知道，替换之前的极大无关组与替换之后的向量组等价，于是替换之后的向量组也是极大无关组；然后利用数学归纳法，假设我们现在的行简化梯形矩阵长成这个样子

现在在考虑第$j$列

如果第$j$列元素全为$0$了（指梯形下面的元素），那么这个列向量肯定不选，因为已经可以被前面选择的向量表出了（注意初等行变换不改变列向量之间的线性关系）；否则的话，这个向量一定要选，可以利用上面类似的反证法证明

这道题目还卡精度。如果用double，精度不能太高，eps=1e-4，如果用long double，精度不能太低，eps=1e-8

然后解释一下蓝书上的做法

仔细想一下对行向量进行初等行变换会发生什么。不难发现（模拟一遍过程），假设我们当前在第$i$行，前面$i-1$行已经确定了，那么第一行的向量就是最开始给出的某个向量$a[j_1]$，第二行的向量是$a[j_1]$与最开始给出的向量中的另一个向量$a[j_2]$的线性组合，第三行的向量是$a[j_1],a[j_2]$与最开始给出的向量中的另一个向量$a[j_3]$的线性组合，依次类推。那么此时我们在找第$i$个线性无关的向量（假设我们前面找到的$i-1$个向量都是线性无关的，我们找到了当前矩阵的第$k$行（注意当前矩阵的第$k$行的向量是$a[j_1],a[j_2],...,a[j_{i-1}]$与最开始给出的向量中的另一个向量$a[j_i]$的线性组合），由于第$k$行向量的当前列不为$0$，所以这个向量与我们已经找到的前$i-1$个向量一定是线性无关的（我们就将前$i-1$个向量与这个向量提取出来放在一起做初等行变换，最终结果肯定不变，而且每一行都是非零向量，所以满秩，所以线性无关），于是我们按照蓝书的做法最终得到的肯定是线性无关组，而且肯定是花费的最少的（花费的证明按照我的做法的证明证）

代码仓库的代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
long double a[510][510], eps = 1e-8;
int c[510], n, m, dim, ans;

int main() {
	cin >> n >> m;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		for (int j = 1; j <= m; j++) {
			double temp; scanf("%lf", &temp); a[i][j] = temp;
		}
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		double temp; scanf("%lf", &temp); c[i] = temp;
	} 
	int dim = 0;
	// 对每个未知量xi进行一次消元 
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		// 找到xi系数不为0、价格最低的一个
		int now = 0;
		for (int j = dim + 1; j <= n; j++) {
			if (fabs(a[j][i]) > eps && (now == 0 || c[j] < c[now]))
				now = j;
		}
		// xi是自由元 
		if (now == 0) continue;
		// 向基底中增加一个向量 
		dim++;
		ans += c[now];
		for (int j = 1; j <= m; j++)
			swap(a[now][j], a[dim][j]);
		swap(c[now], c[dim]);
		// 消去其它行中第i列的值 
		for (int j = 1; j <= n; j++)
			if (dim != j && fabs(a[j][i]) > eps) {
				long double rate = a[j][i] / a[dim][i];
				for (int k = i; k <= m; k++)
					a[j][k] -= a[dim][k] * rate;
			}
	}
	cout << dim << ' ' << ans << endl;
}