Chain Reaction

好题，介绍一下向上取整的整除分块

首先来看一下另一种做法吧

先看这篇文章

解释一下，再次需要操作的次数实际上就是还有多少个连续的\(1\)的段，不难发现在攻击力为\(k\)的时候，像广搜一样操作\(x\)次后，与操作一次攻击力为\(xk\)的操作是等价的，所以有最后的答案是\(ans_0+ans_k+ans_{2k}+...\)

然后来解释一下我的做法，首先这道题目跟Chip and Ribbon这道题目非常像，都可以转化成积木大赛

那么这道题目怎么转化呢？首先对一个确定的\(k\)，将每个\(a_i\)除以\(k\)并且向上取整，然后做出差分数组就好了，不难证明这是正确的

问题是怎么优化，实际上，我们使用转化对象法，不从\(k\)的角度考虑，而从每个数字的角度考虑，不难想到整除分块

但是这里是向上取整，我们不能简单的将蓝书上的推导，所有下取整符号换成上取整符号，小于等于号和大于等于号都取反来做，尽管这样的推导是正确的，但是最后分的段没有分完全。比如如果我们这么做了，那么每一段就是\([g(x),x]\)，然而有可能\(g(x)-1\)处的值也与\(x\)的值相同

所以这样就会导致TLE，但是仍然有一个正确的结论：最多只能分成\(O(2\sqrt{k})\)段，因为仍然只有可能有这么多种取值

那么也就是说，我们仍然可以使用这样的算法：最开始令\(L=1\)，然后每次循环找到一个最大的\(R\)，使得\(\lceil \frac{n}{L}\rceil=\lceil \frac{n}{R}\rceil\)，之后再令\(L=R\)即可，如果能找到这样的\(R\)的话，我们的循环也是最多进行\(O(2\sqrt{k})\)次的

那么这个\(R\)怎么找呢？实际上，通过讨论\(n\)是否整除\(d\)，我们可以得到如下恒等式：\(\lceil \frac{n}{d}\rceil=\lfloor \frac{n+d-1}{d}\rfloor\)，于是我们就可以将向上取整转化为向下取整，即每一次循环的时候，找最大的\(R\)使得\(\lfloor \frac{n+L-1}{L}\rfloor=\lfloor \frac{n+R-1}{R}\rfloor\)，也就是\(\lfloor \frac{n-1}{L}\rfloor=\lfloor \frac{n-1}{R}\rfloor\)，这就是我们熟悉的整除分块的形式了

那么现在时间复杂度正确了，怎么统计答案呢？实际上，我们发现答案只与差分数组有关，所以我们循环讨论每一个怪物，如果这个怪物的血量比前一个的高，那么这里的差分肯定为正数（反之为负数，处理方法一样，下面只讨论正数的情况），我们对这个怪物进行上面的循环，然后将答案数组（e.g.,\(ans_k\)表示攻击力为\(k\)的时候的答案）的对应位置加上对应贡献，然后对上一个怪物进行同样的循环，然后将答案数组的对应位置减去对应贡献，最后在总的统计就好了