Chain Reaction

好题，介绍一下向上取整的整除分块

首先来看一下另一种做法吧

先看这篇文章

解释一下，再次需要操作的次数实际上就是还有多少个连续的正数的段，不难发现在攻击力为$k$的时候，像广搜一样操作$x$次后（指横着操作，而不是对着一个连续块一直操作），与操作一次攻击力为$xk$的操作是等价的，所以有最后的答案是$an{s}_0+an{s}_k+an{s}_{2k}+...$

然后来解释一下我的做法，首先这道题目跟Chip and Ribbon这道题目非常像，都可以转化成积木大赛

那么这道题目怎么转化呢？首先对一个确定的$k$，将每个$a_i$除以$k$并且向上取整，然后做出差分数组就好了，不难证明这是正确的

问题是怎么优化，实际上，我们使用转化对象法，不从$k$的角度考虑，而从每个数字的角度考虑，不难想到整除分块

但是这里是向上取整，我们不能简单的将蓝书上的推导，所有下取整符号换成上取整符号，小于等于号和大于等于号都取反来做，尽管这样的推导是正确的，但是最后分的段没有分完全。比如如果我们这么做了，那么每一段就是$[g(x),x]$，然而有可能$g(x)-1$处的值也与$x$的值相同

所以这样就会导致TLE，但是仍然有一个正确的结论：最多只能分成$O(2\sqrt{k})$段，因为仍然只有可能有这么多种取值

那么也就是说，我们仍然可以使用这样的算法：最开始令$L=1$，然后每次循环找到一个最大的$R$，使得$\lceil \frac{n}{L}\rceil =\lceil \frac{n}{R}\rceil$，之后再令$L=R+1$即可，如果能找到这样的$R$的话，我们的循环也是最多进行$O(2\sqrt{k})$次的

那么这个$R$怎么找呢？实际上，通过讨论$n$是否整除$d$，我们可以得到如下恒等式：$\lceil \frac{n}{d}\rceil =\lfloor \frac{n+d-1}{d}\rfloor$，于是我们就可以将向上取整转化为向下取整，即每一次循环的时候，找最大的$R$使得$\lfloor \frac{n+L-1}{L}\rfloor =\lfloor \frac{n+R-1}{R}\rfloor$，也就是$\lfloor \frac{n-1}{L}\rfloor =\lfloor \frac{n-1}{R}\rfloor$，这就是我们熟悉的整除分块的形式了

那么现在时间复杂度正确了，怎么统计答案呢？实际上，我们发现答案只与差分数组有关，所以我们循环讨论每一个怪物，如果这个怪物的血量比前一个的高，那么这里的差分肯定为正数（反之为负数，处理方法一样，下面只讨论正数的情况），我们对这个怪物进行上面的循环，然后将答案数组（e.g.,$an{s}_k$表示攻击力为$k$的时候的答案）的对应位置加上对应贡献，然后对上一个怪物进行同样的循环，然后将答案数组的对应位置减去对应贡献，最后在总的统计就好了