Jellyfish and EVA

这道题目实在没有什么好的办法去描述状态空间，只能感性理解一下，等对概率的理解更深了再来吧。。。

发现这是一道概率DP，而且满足拓扑序，我们直接倒序转移就好了

设 $f_{i}$ 表示从第 $i$ 个点到第 $n$ 个点的概率，我们发现当只有一条出边是非常好转移的，但是其他就不太行了

我们遇到这种情况，就从简单情形开始想起（接下来的情形我们都不考虑点的概率，也就是只考虑选择顺序的问题）

假设当前点 $u$ 只有一条出边，终点是 $v_{1}$ ，那么有 $f_{u} = f_{v_{1}}$

假设当前点有两条出边，终点分别为 $v_{1}, v_{2}$ ，我们不妨认为最优方案先选 $v_{1}$ ，那么第二个人有 $\frac{1}{2}$ 的概率选择 $v_{1}$ ，有 $\frac{1}{2}$ 的概率选择 $v_{2}$ ，当选择了 $v_{2}$ 之后两条出边都被销毁了，所以不可能达到终点，也就是说有 $f_{u} = \frac{1}{2} f_{v_{1}} + \frac{1}{2} \cdot 0 = \frac{1}{2} f_{v_{1}}$ （所以最优方案要求 $f_{v_{1}} > f_{v_{2}}$ ）

假设当前点有三条出边，终点分别为 $v_{1}, v_{2}, v_{3}$ ，我们不妨认为最优方案先选 $v_{1}$ ，那么第二个人有 $\frac{1}{3}$ 的概率选择 $v_{1}$ ，此时有 $f_{u} + = \frac{1}{3} f_{v_{1}}$ ；有 $\frac{1}{3}$ 的概率选择 $v_{2}$ ，那么接下来第一个人只能选择 $v_{3}$ ，然后第二个人也只能选择 $v_{3}$ ，也就有 $f_{u} + = \frac{1}{3} f_{v_{3}}$ ；同理，若第二个人选择了 $v_{3}$ （概率为 $\frac{1}{3}$ ），那么有 $f_{u} + = \frac{1}{3} f_{v_{2}}$ .综上， $f_{u} = \frac{1}{3} f_{v_{1}} + \frac{1}{3} f_{v_{3}} + \frac{1}{3} f_{v_{2}}$

假设当前点有四条出边，终点分别为 $v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}$ （我们不妨设 $f_{v_{2}} > f_{v_{3}} > f_{v_{4}}$ ），我们不妨认为最优方案先选择 $v_{1}$ ，那么第二个人有 $\frac{1}{4}$ 的概率选择 $v_{1}$ ，此时有 $f_{u} + = \frac{1}{4} f_{v_{1}}$ ；有 $\frac{1}{4}$ 的概率选择 $v_{2}$ ，注意接下来第一个人要怎么选，这时的情形实际上是当前的点有两条出边的情形了，所以最优方案先选择 $v_{3}$ （此时就是将 $v_{3}$ 当做只有两条出边的情形中的 $v_{1}$ ），所以有 $f_{u} + = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} f_{v_{3}})$ ；同理，如果第二个人先选择的 $v_{3}$ ，有 $f_{u} + = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} f_{v_{2}})$ ，如果第二个人先选择 $v_{4}$ ，有 $f_{u} + = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} f_{v_{2}})$ 。综上， $f_{u} = \frac{1}{4} f_{v_{1}} + \frac{1}{4} f_{v_{2}} + \frac{1}{8} f_{v_{3}}$ ，我们此时有 $f_{v_{2}} > f_{v_{3}} > f_{v_{4}}$ ，那么我们怎么选择 $v_{1}$ 让 $f_{u}$ 最大呢？肯定是这么选： $f_{v_{1}} > f_{v_{2}} > f_{v_{3}} > f_{v_{4}}$ （因为 $\frac{1}{4}$ 是最大的系数）