Jellyfish and EVA

这道题目实在没有什么好的办法去描述状态空间，只能感性理解一下，等对概率的理解更深了再来吧。。。

发现这是一道概率DP，而且满足拓扑序，我们直接倒序转移就好了

设\(f_i\)表示从第\(i\)个点到第\(n\)个点的概率，我们发现当只有一条出边是非常好转移的，但是其他就不太行了

我们遇到这种情况，就从简单情形开始想起（接下来的情形我们都不考虑点的概率，也就是只考虑选择顺序的问题）

假设当前点\(u\)只有一条出边，终点是\(v_1\)，那么有\(f_u=f_{v_1}\)

假设当前点有两条出边，终点分别为\(v_1,v_2\)，我们不妨认为最优方案先选\(v_1\)，那么第二个人有\(\frac{1}{2}\)的概率选择\(v_1\)，有\(\frac{1}{2}\)的概率选择\(v_2\)，当选择了\(v_2\)之后两条出边都被销毁了，所以不可能达到终点，也就是说有\(f_u=\frac{1}{2}f_{v_1}+\frac{1}{2}\cdot 0=\frac{1}{2}f_{v_1}\)（所以最优方案要求\(f_{v_1}>f_{v_2}\)）

假设当前点有三条出边，终点分别为\(v_1,v_2,v_3\)，我们不妨认为最优方案先选\(v_1\)，那么第二个人有\(\frac{1}{3}\)的概率选择\(v_1\)，此时有\(f_u+=\frac{1}{3}f_{v_1}\)；有\(\frac{1}{3}\)的概率选择\(v_2\)，那么接下来第一个人只能选择\(v_3\)，然后第二个人也只能选择\(v_3\)，也就有\(f_u+=\frac{1}{3}f_{v_3}\)；同理，若第二个人选择了\(v_3\)（概率为\(\frac{1}{3}\)），那么有\(f_u+=\frac{1}{3}f_{v_2}\).综上，\(f_u=\frac{1}{3}f_{v_1}+\frac{1}{3}f_{v_3}+\frac{1}{3}f_{v_2}\)

假设当前点有四条出边，终点分别为\(v_1,v_2,v_3,v_4\)（我们不妨设\(f_{v_2}>f_{v_3}>f_{v_4}\)），我们不妨认为最优方案先选择\(v_1\)，那么第二个人有\(\frac{1}{4}\)的概率选择\(v_1\)，此时有\(f_u+=\frac{1}{4}f_{v_1}\)；有\(\frac{1}{4}\)的概率选择\(v_2\)，注意接下来第一个人要怎么选，这时的情形实际上是当前的点有两条出边的情形了，所以最优方案先选择\(v_3\)（此时就是将\(v_3\)当做只有两条出边的情形中的\(v_1\)），所以有\(f_u+=\frac{1}{4}(\frac{1}{2}f_{v_3})\)；同理，如果第二个人先选择的\(v_3\)，有\(f_u+=\frac{1}{4}(\frac{1}{2}f_{v_2})\)，如果第二个人先选择\(v_4\)，有\(f_u+=\frac{1}{4}(\frac{1}{2}f_{v_2})\)。综上，\(f_u=\frac{1}{4}f_{v_1}+\frac{1}{4}f_{v_2}+\frac{1}{8}f_{v_3}\)，我们此时有\(f_{v_2}>f_{v_3}>f_{v_4}\)，那么我们怎么选择\(v_1\)让\(f_u\)最大呢？肯定是这么选：\(f_{v_1}>f_{v_2}>f_{v_3}>f_{v_4}\)（因为\(\frac{1}{4}\)是最大的系数）

然后以上过程可以拓展到更一般的情况

我们发现，当度数相同的时候，每个概率的系数一定是定的，所以我们就可以预处理这一部分系数，也就变成了Two Pirates - 2这道题目了