Joyboard

我们发现对任意的$a_{n+1}$，$a_1$一定为$0$

如果$a_2$为$1$，那么不难发现，$[3,n]$都为$1$

再手玩几次，就会发现，数列只有可能是这个样子：$[1,i]$为$0$，$[i+1,n]$为$i$，然后我们再决定$a_{n+1}$为多少

不难发现，当$k=1$的时候，答案为$1$；当$k=2$的时候，答案为$min(n-1,m)+\lfloor \frac{m}{n}\rfloor$；当$k\ge 4$的时候，答案为$0$；现在主要是来计算当$k=3$的时候

考试的时候想的是正面计算，确实可以，但是非常耗费时间，放在C题就不是让你这么算的，此时我们要想一个简单的方法，就一定要从反面考虑，输出$m+1-1-(min(n-1,m)+\lfloor \frac{m}{n}\rfloor )-0$即可

然后讲一下正面的计算：不难发现公式是$\sum _{i=1}^{n-1}\lfloor \frac{m-i}{n}\rfloor$，我们很容易地想到整除分块，但是整除分块实际上不是这个形式，所以我们仍然考虑贡献，设$\lfloor \frac{m-i}{n}\rfloor =k$，不难有$m-n(k+1)<i\le m-kn$，我们发现对同一个$k$，$i$的个数都是$n$个（这里就是跟整除分块不一样的地方了，整除分块由于变量在分母，所以是有这么一个分块在的东西，然后这里变量在分子，显然循环节都刚好是$n$）。但是这里有一个细节，因为我们限制了$i$的上下界，所以我们也要求出$k$的上下界，并且对$k$的上下界进行单独的讨论，这里就是最麻烦的地方了（比如我考场上只想到了求$k$的上界，却忘记了求$k$的下界，显然这不是一个C题该有的样子）