传送带

建立函数按照这篇文章建立

但是证明这个函数是单峰的还是比较困难，我们只能来感性理解一下

我们首先将$CD$从线段变成直线，然后在$F$为无穷远的时候，函数值显然为无穷，然后我们把$F$拉到附近，函数值显然就为有限值了，再将$F$拉到另一端的无穷远，函数值又为无穷了，像这种一般都是三分，可以直接上三分了

update 2025.1.6

其实利用导数可以证明是三分的。假设我们现在已经固定了$AB$上面的一个点为$E$，我们现在要在$CD$上面找到一个点$F$，使得时间最短。我们不妨设$D$为坐标原点，$DF$为$x$轴，$F(x,0),E(c,d)$，于是所用的时间就是

$$f(x)=\frac{\sqrt{(c-x{)}^2+d^2}}{R}+\frac{|x|}{Q}$$

这个函数的一阶导和二阶导见下

显然二阶导是大于$0$的，也就意味这一阶导是单调递增的；显然当$x\to +\mathrm{\infty }$时，$f^{{}^{\prime }}(x)\to \frac{1}{R}+\frac{1}{Q}$，当$x\to -\mathrm{\infty }$时，$f^{{}^{\prime }}(x)\to -(\frac{1}{R}+\frac{1}{Q})$，所以可以证明这是一个凹函数