传送带

建立函数按照这篇文章建立

但是证明这个函数是单峰的还是比较困难，我们只能来感性理解一下

我们首先将\(CD\)从线段变成直线，然后在\(F\)为无穷远的时候，函数值显然为无穷，然后我们把\(F\)拉到附近，函数值显然就为有限值了，再将\(F\)拉到另一端的无穷远，函数值又为无穷了，像这种一般都是三分，可以直接上三分了

update 2025.1.6

其实利用导数可以证明是三分的。假设我们现在已经固定了\(AB\)上面的一个点为\(E\)，我们现在要在\(CD\)上面找到一个点\(F\)，使得时间最短。我们不妨设\(D\)为坐标原点，\(DF\)为\(x\)轴，\(F(x,0),E(c,d)\)，于是所用的时间就是

\[f(x)=\frac{\sqrt{(c-x)^2+d^2}}{R}+\frac{|x|}{Q} \]

这个函数的一阶导和二阶导见下

显然二阶导是大于\(0\)的，也就意味这一阶导是单调递增的；显然当\(x\to+\infty\)时，\(f^{'}(x)\to\frac{1}{R}+\frac{1}{Q}\)，当\(x\to-\infty\)时，\(f^{'}(x)\to-(\frac{1}{R}+\frac{1}{Q})\)，所以可以证明这是一个凹函数

update 2026.2.11
下面给一个“可以写进题解/证明题”的严格说法：你担心的“离开 (X) 之后又回到 (AB)”其实是定义问题——把 (X) 定义成“最后一次在 (AB) 上的点”，就从逻辑上排除了“又回到 (AB)”的可能。

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1. 先把“路径”说清楚

把一条可行路线看成一个连续曲线
[
\gamma:[0,T]\to\mathbb R^2,\qquad \gamma(0)=A,\ \gamma(T)=D
]
并且满足速度约束：当 (\gamma(t)\in AB) 时在 (AB) 上走、速度上界 (P)；当 (\gamma(t)\in CD) 时在 (CD) 上走、速度上界 (Q)；其余在平面里速度上界 (R)。（你用哪种等价的“时间=路程/速度”表述都行，下面只用到连续性。）

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2. 关键：对任意一条路线，“最后一次在 (AB) 上的时刻”一定存在

定义集合
[
S_{AB}={,t\in[0,T]\mid \gamma(t)\in AB,}.
]

• 因为 (\gamma(0)=A\in AB)，所以 (S_{AB}\neq\varnothing)。
• 因为 (AB) 是闭集、(\gamma) 连续，所以 (\gamma^{-1}(AB)=S_{AB}) 是 ([0,T]) 的闭子集。
• ([0,T]) 是紧致集，非空闭子集在其中必有最大元，因此存在
  [
  \tau=\max S_{AB}.
  ]

令
[
X=\gamma(\tau)\in AB.
]

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3. 这就严格证明了：离开这个 (X) 之后不可能再回到 (AB)

由 (\tau=\max S_{AB}) 的定义立刻得到：

对所有 (t>\tau)，都有 (t\notin S_{AB})，也就是 (\gamma(t)\notin AB)。

换句话说，把 (X) 取为这条路径“最后一次落在 (AB) 上的点”时，从 (\tau) 之后这条路径根本不可能再碰到 (AB)。
所以“万一离开 (X) 之后又回到 (AB)”在这个定义下是矛盾的。

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4. 这对你三分模型意味着什么？

你在三分里枚举的那个 (X) 本质上就应该理解为：

“最后一次离开 (AB) 的点”（等价于“最后一次在 (AB) 上的点”）。

任何一条看似“离开又回来”的路径，都有一个更靠后的“最后在 (AB) 上的点” (X)；只要你优化时允许 (X) 在整段 (AB) 上取值，你就不会漏掉这种路径对应的“真正最后离开点”。

（同理也可以对 (CD) 定义 (S_{CD})、得到“最后一次在 (CD) 上的点”。如果你要的是“第一次进入 (CD) 后就不再离开”的表述，可以用“从某时刻起一直在 (CD) 上”的最小时刻来定义，证明套路一样。）

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如果你接下来想把“从 (X) 到 (Y) 必须走直线、所以能写成 (\frac{|AX|}{P}+\frac{|XY|}{R}+\frac{|YD|}{Q})”也写成同样严格的版本，我也可以继续把那部分按“取最后/最初接触点 + 用三角不等式把平面段拉直”补全成一套完整证明。

看不懂上面的推导。有空再看吧