Time Travel

这道题目本身不算难，只是有一点点小的最短路算法的改动

我们首先从分层图的角度考虑这个问题，每一层代表一秒钟（一定要注意走一条边就要停$1$秒钟，而不是这层可以随便走；所以其实可以认为每一层内部都没有边，只有相邻两层之间有有向边）

在第一层，最开始只有$1$在集合中，然后我们扫描第一层中$1$的所有出边，将终点全部加入到集合中

在第二层，我们扫描集合中所有点在第二层中的出边，把不在集合中的终点全部加入集合

当然上述操作也可以直接扫描每一层的出边，如果这条边的起点在集合中但是终点不在集合中，就把终点加入集合（注意由上述分析，不可能存在某一条边的起点在这层被加入集合，从而导致这条边的终点由于这个原因被加入集合；也就是说扫描边的顺序无关紧要）

每一层我们都这么做，最早的一层加入$n$的时候就是答案

但是上面的时间复杂度非常大，所以我们考虑优化，然而却没有很好的优化的方法，所以我们转换考虑对象，不从每一层去考虑，而是考虑每一个点什么时候被最早加入

我们考虑一个点$u$在$d_u$时刻被加入集合，那么他的贡献就是对其所有的时间大于$d_u$的出边的终点做出来的，所以我们有如下算法：

对每一个边集，存储其所有的时间；对每一个点，他的每一条边既包含终点也包含这条边所在的边集

于是我们在dij更新的时候，假设当前是$u$点，边为$(v,id)$，其中$id$是这条边所属的边集，我们查找$id$大于$d_u$时刻的最早的时刻，用这个时刻更新$d_v$就好了

注意这也隐含了一个分层图的经典trick，就是不在一开始加入所有边，而是边跑边用

update 2024.8.15

其实分层图本来就是跑dij，从点的角度考虑也挺合理的