Rare Coins

非常好的一道题目，用一个非常简单的trick就能化繁为简了

我们先按照常规的来想（也就是从伯努利实验的角度）

假设\([l,r]\)中有\(a\)个金币，那么就有\(r-l+1-a\)个银币，我们假设有\(b\)个银币是价值为\(1\)的，那么总价值就是\(a+b\)，概率就是\(\frac{1}{2^{r-l+1-a}}\cdot C_{r-l+1-a}^b\)

然后对外面的两个区间（\([1,l-1]\)和\([r+1,n]\)）做同样的操作就可以列出式子了，但是会发现最终的式子完全不可算

这就是官方题解说的，两边选择概率对答案的影响方向不同（具体见官解）

为了消除这种影响，我们这么来看这个问题，我们不妨认为\([l,r]\)中所有银币的价值都是\(1\)，然后由\(\frac{1}{2}\)的概率变成\(0\)；外面的银币价值都是\(0\)，然后由\(\frac{1}{2}\)的概率变成\(1\)

这样的话，任意一个位置的银币对答案的影响就是一样的了，都有\(\frac{1}{2}\)的概率让答案减\(1\)

然后剩下就非常简单了，具体见题解吧

这道题启示我们，设置最初的样本空间的时候，可以有多种设置的方法，发现一种不好计算的时候，不妨尝试另一种。这个方法就叫他伯努利实验缺省法吧