成绩比较

这道题目虽然是放在容斥原理题单里面的，但实际上用的是二项式反演（当然这东西也是由容斥原理推导出来的）

但是啦我已经很满足了，我自己已经推出了大部分的式子了，只是最后不会二项式反演而已

这种没什么思路的题目，我们先从小范围开始想起

我们假设只有一门课，那么我们从\(n-1\)个同学中选出\(k\)个人(\(C_{n-1}^k\))，表示这些人被B神碾压，那么剩下的\(n-1-k\)个人的成绩都严格大于B神。我们假设B神的成绩是\(g\)，那么答案就是\(C_{n-1}^kg^{k}(u-g)^{n-1-k}\)（注意要满足B神的排名与被碾压的人数不矛盾）

现在我们来看看有两门课。我们先从第一轮考虑，我们先选出\(r_1-1\)个人（\(C_{n-1}^{r_1-1}\)）表示这些人的成绩严格大于B神，那么剩下的\(n-r_1\)个人就是在这门课中成绩没有超过B神的人。那么我们对第二门课做同样的操作，然后我们来判断是否符合条件。我们发现，当一个人在两门课都没被选择的时候，他才会被B神碾压，也就是说，我们设第一门课中选出的\(r_1-1\)个人的集合是\(S_1\)，第二门课选出的\(r_2-1\)个人的集合是\(S_2\)，那么我们需要满足\(k=n-1-|S_1∪S_2|\)

然后我们推广到三门课，有\(k=n-1-|S_1∪S_2∪S_3|\)，然后我们就可以推广到\(m\)门课了

也就是说，先选择\(k\)个人表示这\(k\)个人不在任何一个\(S_i\)里面，而且最后要有\(|∪S_i|=n-1-k\)

我们先选择\(k\)个人，很显然，为\(C_{n-1}^k\)

然后我们来考察满足\(|∪S_i|=n-1-k\)的所有的方案数，这东西就要用到二项式反演了。有关二项式反演

然后我们发现我们整体的结构就已经确认好了。假设我们现在已经有了B神的成绩，分别为\((g_1,g_2,...,g_m)\)，那么选出的\(k\)个人的第\(i\)门课的成绩就有\(g_i\)种选择，没被选出来的\(n-1-k\)个人第\(i\)门课的成绩就有\(u_i-g_i\)种选择，我们根据乘法原理乘起来就好了（这其实是非常重要的一个点，感觉很多容斥的题目，或者说计数的题目，当结构不同的时候，贡献是一样的，所以我们只用计算结构的数量就好了，比如这道题目，我们并不关心这\(k\)个人具体是谁，因为只有数量是一样的，贡献就一样）

但是还有个问题，我们不可能枚举每一个\(g\)，这个时候就可以看这篇题解

update 2024.5.3

没想到我居然把所谓的二项式反演自己推出来了。。还是挺开心的（当然具体的二项式反演还没有学，有空了学一下）

最后放的那篇题解有笔误，下文会说明

首先老规矩，跟上文叙述的思考过程一样，直接跳到二项式反演那里

其实现在就是要在剩下的\(n-1-k\)个人当中分配成绩，使得不存在任何一个人被B神碾压而且每门课都符合B神的排名

我们先忽略不被B神碾压的条件，来考虑每门课都符合B神的排名的所有的情况

那么总数显然就是\(\prod_{i=1}^mC_{n-1-k}^{r_i-1}(u_i-g_i)^{r_i-1}g_i^{n-k-r_i}\)。这个式子的意思是，依次考虑每门课，对于当前考虑的这门课，选出\(r_i-1\)个人，这些人的成绩严格大于B神

然后用容斥减掉不合法的情况。设\(P_i\)表示这\(n-1-k\)个人中第\(i\)个人被B神碾压的方案的集合，那么答案就是用上面说的总数减去\(|P_1∪P_2∪...∪P_{n-1-k}|\)

后面那个式子用容斥原理展开即得

\[\sum_{i=1}^{T}(-1)^{i-1}C_{n-1-k}^i(g_1g_2...g_m)^i\prod_{j=1}^mC_{n-k-1-i}^{r_j-1}(u_j-g_j)^{r_j-1}g_j^{n-k-i-r_j} \]

其中\(T\)是上界

这个式子的意思是，我们从\(n-1-k\)个人中选出\(i\)个人来表示这\(i\)个人被B神碾压（\(C_{n-1-k}^i\)），并且枚举他们的成绩（\((g_1g_2...g_m)^i\)），然后在按照最开始的选法依次考虑每一门课（\(\prod_{j=1}^mC_{n-k-1-i}^{r_j-1}(u_j-g_j)^{r_j-1}g_j^{n-k-i-r_j}\)）即可

然后将三部分化简之后得到答案

\[C_{n-1}^k\times\prod_{j=1}^m(\sum_{g_j=1}^{u_j}g_j^{n-r_j}(u_j-g_j)^{r_j-1})\times\sum_{i=0}^{T}(-1)^{i}C_{n-1-k}^i\prod_{j=1}^mC_{n-k-1-i}^{r_j-1} \]

然后三个部分分别计算就好了

然后最后一个问题就是我们不可能枚举B神的成绩\(g_i\)，怎么办？

实际上利用最后贴的题解就好了

我们只考虑某一门课\(i\)，假设我们已经定下来了所有人的成绩，分别是\(h_1,h_2,...,h_n\)，那么统计\(h\)中不同数字有多少个，记为\(t\)个，那么这\(t\)个数字肯定可以从\(u_i\)个数字中选出，即\(C_{u_i}^t\)，然后我们就可以建立一个映射了。也就是说我们枚举\(t\)，从\(u_i\)个数中选出\(t\)个数，然后让所有人的成绩只能从这\(t\)个数中选择，把所有情况加起来就是答案了。但是我们直接枚举的话不能保证我们选取了\(t\)个数之后，这\(t\)个数的每一个数都会被选择，此时要用题解中说的容斥去解决（而且这个容斥挺新的，可以学一学）。但是题解中的公式错了，

这个最后不要乘以\(C_u^t\)，而是在统计答案的时候乘以\(C_u^t\)，可以想一下为什么，具体见代码