成绩比较

这道题目虽然是放在容斥原理题单里面的，但实际上用的是二项式反演（当然这东西也是由容斥原理推导出来的）

但是啦我已经很满足了，我自己已经推出了大部分的式子了，只是最后不会二项式反演而已

这种没什么思路的题目，我们先从小范围开始想起

我们假设只有一门课，那么我们从 $n - 1$ 个同学中选出 $k$ 个人( $C_{n - 1}^{k}$ )，表示这些人被B神碾压，那么剩下的 $n - 1 - k$ 个人的成绩都严格大于B神。我们假设B神的成绩是 $g$ ，那么答案就是 $C_{n - 1}^{k} g^{k} (u - g)^{n - 1 - k}$ （注意要满足B神的排名与被碾压的人数不矛盾）

现在我们来看看有两门课。我们先从第一轮考虑，我们先选出 $r_{1} - 1$ 个人（ $C_{n - 1}^{r_{1} - 1}$ ）表示这些人的成绩严格大于B神，那么剩下的 $n - r_{1}$ 个人就是在这门课中成绩没有超过B神的人。那么我们对第二门课做同样的操作，然后我们来判断是否符合条件。我们发现，当一个人在两门课都没被选择的时候，他才会被B神碾压，也就是说，我们设第一门课中选出的 $r_{1} - 1$ 个人的集合是 $S_{1}$ ，第二门课选出的 $r_{2} - 1$ 个人的集合是 $S_{2}$ ，那么我们需要满足 $k = n - 1 - | S_{1} \cup S_{2} |$

然后我们推广到三门课，有 $k = n - 1 - | S_{1} \cup S_{2} \cup S_{3} |$ ，然后我们就可以推广到 $m$ 门课了

也就是说，先选择 $k$ 个人表示这 $k$ 个人不在任何一个 $S_{i}$ 里面，而且最后要有 $| \cup S_{i} | = n - 1 - k$

我们先选择 $k$ 个人，很显然，为 $C_{n - 1}^{k}$

然后我们来考察满足 $| \cup S_{i} | = n - 1 - k$ 的所有的方案数，这东西就要用到二项式反演了。有关二项式反演

然后我们发现我们整体的结构就已经确认好了。假设我们现在已经有了B神的成绩，分别为 $(g_{1}, g_{2}, . . ., g_{m})$ ，那么选出的 $k$ 个人的第 $i$ 门课的成绩就有 $g_{i}$ 种选择，没被选出来的 $n - 1 - k$ 个人第 $i$ 门课的成绩就有 $u_{i} - g_{i}$ 种选择，我们根据乘法原理乘起来就好了（这其实是非常重要的一个点，感觉很多容斥的题目，或者说计数的题目，当结构不同的时候，贡献是一样的，所以我们只用计算结构的数量就好了，比如这道题目，我们并不关心这 $k$ 个人具体是谁，因为只有数量是一样的，贡献就一样）

但是还有个问题，我们不可能枚举每一个 $g$ ，这个时候就可以看这篇题解

update 2024.5.3

没想到我居然把所谓的二项式反演自己推出来了。。还是挺开心的（当然具体的二项式反演还没有学，有空了学一下）

最后放的那篇题解有笔误，下文会说明

首先老规矩，跟上文叙述的思考过程一样，直接跳到二项式反演那里

其实现在就是要在剩下的 $n - 1 - k$ 个人当中分配成绩，使得不存在任何一个人被B神碾压而且每门课都符合B神的排名

我们先忽略不被B神碾压的条件，来考虑每门课都符合B神的排名的所有的情况

那么总数显然就是 $\prod_{i = 1}^{m} C_{n - 1 - k}^{r_{i} - 1} (u_{i} - g_{i})^{r_{i} - 1} g_{i}^{n - k - r_{i}}$ 。这个式子的意思是，依次考虑每门课，对于当前考虑的这门课，选出 $r_{i} - 1$ 个人，这些人的成绩严格大于B神

然后用容斥减掉不合法的情况。设 $P_{i}$ 表示这 $n - 1 - k$ 个人中第 $i$ 个人被B神碾压的方案的集合，那么答案就是用上面说的总数减去 $| P_{1} \cup P_{2} \cup . . . \cup P_{n - 1 - k} |$

后面那个式子用容斥原理展开即得

\sum_{i = 1}^{T} (- 1)^{i - 1} C_{n - 1 - k}^{i} (g_{1} g_{2} . . . g_{m})^{i} \prod_{j = 1}^{m} C_{n - k - 1 - i}^{r_{j} - 1} (u_{j} - g_{j})^{r_{j} - 1} g_{j}^{n - k - i - r_{j}}

其中 $T$ 是上界

这个式子的意思是，我们从 $n - 1 - k$ 个人中选出 $i$ 个人来表示这 $i$ 个人被B神碾压（ $C_{n - 1 - k}^{i}$ ），并且枚举他们的成绩（ $(g_{1} g_{2} . . . g_{m})^{i}$ ），然后在按照最开始的选法依次考虑每一门课（ $\prod_{j = 1}^{m} C_{n - k - 1 - i}^{r_{j} - 1} (u_{j} - g_{j})^{r_{j} - 1} g_{j}^{n - k - i - r_{j}}$ ）即可

然后将三部分化简之后得到答案

C_{n - 1}^{k} \times \prod_{j = 1}^{m} (\sum_{g_{j} = 1}^{u_{j}} g_{j}^{n - r_{j}} (u_{j} - g_{j})^{r_{j} - 1}) \times \sum_{i = 0}^{T} (- 1)^{i} C_{n - 1 - k}^{i} \prod_{j = 1}^{m} C_{n - k - 1 - i}^{r_{j} - 1}

然后三个部分分别计算就好了

然后最后一个问题就是我们不可能枚举B神的成绩 $g_{i}$ ，怎么办？

实际上利用最后贴的题解就好了

我们只考虑某一门课 $i$ ，假设我们已经定下来了所有人的成绩，分别是 $h_{1}, h_{2}, . . ., h_{n}$ ，那么统计 $h$ 中不同数字有多少个，记为 $t$ 个，那么这 $t$ 个数字肯定可以从 $u_{i}$ 个数字中选出，即 $C_{u_{i}}^{t}$ ，然后我们就可以建立一个映射了。也就是说我们枚举 $t$ ，从 $u_{i}$ 个数中选出 $t$ 个数，然后让所有人的成绩只能从这 $t$ 个数中选择，把所有情况加起来就是答案了。但是我们直接枚举的话不能保证我们选取了 $t$ 个数之后，这 $t$ 个数的每一个数都会被选择，此时要用题解中说的容斥去解决（而且这个容斥挺新的，可以学一学）。但是题解中的公式错了，