Emiya 家今天的饭

看这篇题解

能学到挺多东西的。

首先是容斥原理，我们看到了序列题不超过一半，可以往这上面想，因为一定不会有两种元素同时超过一半

然后就是DP，我们在这种情况下的DP一般都是预处理，但是这道题目是每次都要枚举不合法的列$col$进行DP，所以思维不要被限制了

最后是DP的优化。这是我第一次见到通过观察最后的求式来优化DP的。观察最后的和式，我们发现我们只关心$j>k$的情况，所以可以将维度压缩成一维

或者这篇题解也可以看一看

然后说一个错误的思路，计算不合法方案数的时候，设$g[i][j][k]$表示前$i$行第$j$列占了$k$行的方案数，然后有$g[i][j][k]=g[i-1][j][k]+a_{i,j}\times g[i-1][j][k-1]+(su{m}_i-a_{i,j})\times g[i-1][j][k]$；这样的话是会把合法的方案统计进去的，必须要增加一维描述其他非$j$列的菜的数量才能比出相对大小

update 2024.8.10

其实这里可以这么想：设第$i$种菜肴做了$x_i$道菜，于是有$\stackrel{m}{\sum _{i=1}}{x}_i=k$，要求$\mathrm{\forall }i\in [1,m],x_i\le \lfloor \frac{k}{2}\rfloor$，这就是典型的容斥原理的形式了

然后那个DP的优化一定要记住，我们要么从状态上优化，要么从转移过程优化，要么利用等效状态，这里就从状态上优化，只不过是通过观察求式来优化状态的