Doremy's Connecting Plan

此题利用转换构造法

首先，我们对两个连通块进行连边的时候，肯定是选择编号最小的点进行连边，所以下文的\(i,j\)都指代编号最小的\(i,j\)

然后我们就没有其他思路了。。但其实样例一的解释给了我们一种猜想：最终的图一定可以长成以\(1\)号点为中心的菊花图

要达到这一点，我们肯定是尝试构造

假设存在一种合法的操作序列（这里的操作序列由若干二元对组成，每个二元对表示本次操作连接哪两个点），设其第一次都不为\(1\)的二元对为\((i,j)\)（指满足\(i≠1\)且\(j≠1\)的最早的操作序列），我们尝试将本次操作换成\((1,i)\)或者\((1,j)\)

不妨设\(2≤i<j\)，我们有\(S_i+S_j≥ijc\)，如果本次操作不能被替换，也就是有\(S_1+S_i<ic\)且\(S_1+S_j<jc\)，那么我们有\(S_i+S_j<(i+j)c-2S_1\)，于是\(ijc<(i+j)c-2S_1\)，即\(ij+\frac{2S_1}{c}<i+j\)，我们将\(j\)当做主元，有\((i-1)j+\frac{2S_1}{c}-i<0\)，由于\(2≤i<j\)，所以\((i-1)j≥j\)，故\((i-1)j-i>0\)，而\(\frac{2S_1}{c}≥0\)，推出矛盾

所以我们一定可以连接\((1,i)\)或者\((1,j)\)。我们假设先能连接\((1,i)\)，连接了之后我们就能连接\((1,j)\)了

综上，任意一种操作序列我们都可以转化成以\(1\)为中心的菊花图

此时我们连接的条件是\(S_1+a_i≥ic\)，即\(S_1≥ic-a_i\)

我们以前做过类似的题目，按照\(ic-a_i\)从小到大排序就好了，依次检查即可