Brukhovich and Exams

我们将gcd为\(1\)的相邻两个数连边，比如

最初的\(ans\)就是边的总数

我们考虑一次操作最多让两条边消失。我们将这些边看成若干连通块（比如上面这幅图就有两个连通块，分别有三条边和一条边）。对于一个连通块若含有偶数条边，显然我们每次操作都可以让两条边消失，若含有奇数条边，最后要剩下一条边

所以我们先把所有的连通块处理了，来看看剩下了多少条边以及剩余了多少次操作次数，比较即可

这个算法对吗？对了一半

我们的前提——一次操作让两条边消失——是要没有数为\(1\)的情况下才成立的。现在有了\(1\)怎么办？

我们稍微修改一下就好了，将所有\(1\)独立成连通块，比如

那么对于非\(1\)的块，我们仍然执行上面的算法，然后来考虑剩余的边

对于全\(1\)的块，设其有\(num\)个\(1\)，那么我们每执行一次操作会让\(ans\)少\(1\)，但是如果执行了\(num\)次操作，\(ans\)总共会少\(num+1\)（其实这里有一种特殊情况，就是这个块的左端点为\(1\)或者右端点为\(n\)，此时执行\(num\)次操作\(ans\)还是只会减少\(num\)次）（其实还有一种最特殊的情况就是所有\(a_i\)都是\(1\)，此时我们特殊判断就好了）。所以我们肯定按照全\(1\)块的长度排序，优先处理长度较小的全\(1\)块

如果所有全\(1\)块都处理完了还有次数没有用，我们再来考虑最开始的长度为偶数的非\(1\)块（这种块有奇数条边，所以最后会剩下一条边）剩下的边即可

update 2024.7.24

重新做的时候，想出来了前半段做法，特殊处理\(1\)的操作可以记住

但是还是没办法严格证明，CF的题很多都是这样吧