概率充电器

换根DP好题

设\(f[i]\)表示只考虑\(i\)及其子树的时候，\(i\)通电的概率

有

\[f[i]=q_i+(1-q_i)(1- \prod_{v} (f[v](1-p_{(v,i)})+1-f[v])) \]

化简为

\[f[i]=q_i+(1-q_i)(1- \prod_{v} (1-f[v]p_{(v,i)})) \]

其中\(v\)是\(i\)的儿子，\(p_{(v,i)}\)表示这条边的概率

解释一下：分两种情况，

若\(i\)自己亮了，那么样本空间剩下的边和点随便是什么状态都可以

若\(i\)自己没亮，那么必须要至少有一个儿子亮了且这条边一定能够通电。我们考虑这种情况的反面，对任意一个儿子\(v\)，它不亮的概率是\(1-f[v]\)，亮了但是边不通电的概率是\(f[v](1-p_{(v,i)})\)，两者加起来即可。再将上述结果累乘就是反面的概率

我们再设\(g[i]\)表示\(i\)的父亲\(fa\)在不考虑\(i\)及其子树的情况下通电的情况，\(dfa\)表示\(fa\)的父亲

有

\[g[i]=q_{fa}+(1-q_{fa})(1-(1-g[fa]p_{(fa,dfa)})\prod_{v≠i}(1-f[v]p_{(fa,v)})) \]

，其中\(v\)是\(fa\)的儿子

情况讨论是类似的，想一下这个公式怎么来的

注意求\(f\)和\(g\)的过程中，我们是用整体的累积除以某一个概率来优化的，但是这个概率是可能为\(0\)的，一定要加以判断

然后设\(ans[i]\)表示\(i\)通电的概率，有

\[ans[i]=f[i]+(1-f[i])p_{(i,fa)}g[i] \]

，其中\(fa\)是\(i\)的父亲

解释一下：最终\(i\)通电要么是由于子树的原因，要么子树没有能够供电，然后父亲来供电

然后可以看一下这篇题解

注意这篇题解，设置的状态就是没有通电，这样其实跟我们上面的推导本质是一样的，但是肯定更加简洁。所以以后遇到考虑反面的情况，不妨直接按照反面设置状态

然后还要特别注意一个点，这篇题解设\(DP_i\)是\(i\)的父亲没有电传到\(i\)的概率，而不是父亲不考虑\(i\)这棵子树被通电的考虑，这两个是完全不同的

update 2024.5.4

其实最好理解的还是这种操作

将三种状态（\(x\)自身通电，\(x\)通过其子树通电，\(x\)通过其父亲通电）分开考虑

第一种不说了

第二种，设\(f[i]\)表示\(i\)通过其子树供电的概率，有$$f[i]=1-\prod_{u∈son_i}(1-l_u+l_u(1-q_u)(1-f_u))$$，其中\(q_u\)表示\(u\)自身通电的概率，\(l_u\)表示\((i,u)\)这条边的长度

第三种，设\(F[i]\)表示\(i\)通过其父亲供电的概率，有$$F[i]=l_i(q_{fa}+(1-q_{fa})(F_{fa}+(1-F_{fa})(1-\prod_{u∈son_{fa}且u≠i}(1-l_u+l_u(1-q_u)(1-f_u)))))$$

最后的\(ans\)见代码就好了