扩展BSGS/exBSGS

先看这篇题解

下面是一些注释

首先，这篇题解的做法相当于是跟蓝书上插入查询的对象刚好反过来，也没有问题

然后，是对这篇题解存前两个的解释

首先是为什么会存在这个问题？我们考虑$a^{p_{1}t}$和$a^{p_{2}t}$，其中$p_1<p_2$而且$a^{p_{1}t}\equiv a^{p_{2}t}(modp)$

那么我们在枚举$q$的时候，我们是两种情况都要考虑的，因为此时最开始的那个等式的变换不是充要条件，我们不能漏掉任何一种可能的解

然而这样就会提升复杂度。这篇题解的解决方法是，我们设所有满足这样条件的$p$的集合是{$p_1,p_2,...,p_k$}（假设严格递增），那么我们只用检验$p_1$和$p_2$即可。原因如下：由于$a^{p_{i}t}$同余的值都相等，所以他们现在一定进入了一个指数循环节上的某一点；由于$q<t$，$p_{1}t-q$可能跳出指数循环节，但是$p_{i}t-q$($i>1$)不可能跳出指数循环节，而且每一个$p_{i}t-q$所在节点都一样，所以我们只用检验前两个。下面给出一张图来帮助理解（这是底数是$124$，模数是$495616$的情况）

比如$p_{i}t$在$245760$这个点上，那么$p_{1}t-q$可能会跳出这个环，走到前面的那条链上的某一节点，但是$p_{i}t-q$($i>1$)一定都是在$245760$这个点上

我们如果按照蓝书的做法，也是可以这么做的，但是保留的就是$a^q$的最大和次大的$q$了。设此时这个集合是{$q_1,q_2,...,q_k$}（假设严格递减），那么这些点仍然在循环节上，而注意$pt>q_1$，所以$pt$也在循环节上；那么$pt-q_1$可能跳出循环节，但是$pt-q_i$($i>1$)就不可能跳出循环节了