[NOIP2017 提高组] 小凯的疑惑 / [蓝桥杯 2013 省] 买不到的数目

这肯定是学证明了，看这篇文章

补充一下细节

首先，\(m\)的范围应该是\([0,b-1]\)

然后，当\(m\)取不同值的时候，\(ma\)%\(b\)一定为不同值（这个性质确实有点奇特，可以记下来）

反证，如果\(m_1a\equiv m_2a \: (mod\: b)\)且\(0≤m_1＜m_2≤b-1\)，那么就有\(b|(m_2-m_1)a\)，题目给出了\(a,b\)互质，所以说一定有\(b|(m_2-m_1)\)，然而\(m_2-m_1＜b\)，显然不可能

这就是为什么我们要把\(m\)的范围限制在\([0,b-1]\)。模运算相当于一个等价关系，由于当\(m\)取不同值的时候，\(ma\)%\(b\)一定为不同值，所以我们可以把\(ma\)作为一个划分块的代表元素

我们也可以证明，当\(x\)的范围为\([0,b-1]\)的时候，\(n=ax+by\)的表示方法唯一（指当\(n,a,b\)定了之后，\((x,y)\)唯一，如果存在的话）

仍然反证，设\(n=ax_1+by_1=ax_2+by_2\)（显然\(x_1≠x_2\)，不然的话\(y_1=y_2\)，这样就是相同的\((x,y)\)了），则有\(ax_1\equiv ax_2(mod\: b)\)，根据我们上面的推导，这是不可能的

当然这里也可以直接按照等价类来理解