[NOIP2017 提高组] 小凯的疑惑 / [蓝桥杯 2013 省] 买不到的数目

这肯定是学证明了，看这篇文章

补充一下细节

首先， $m$ 的范围应该是 $[0, b - 1]$

然后，当 $m$ 取不同值的时候， $m a$ % $b$ 一定为不同值（这个性质确实有点奇特，可以记下来）

反证，如果 $m_{1} a \equiv m_{2} a (m o d b)$ 且 $0 \leq m_{1} ＜ m_{2} \leq b - 1$ ，那么就有 $b | (m_{2} - m_{1}) a$ ，题目给出了 $a, b$ 互质，所以说一定有 $b | (m_{2} - m_{1})$ ，然而 $m_{2} - m_{1} ＜ b$ ，显然不可能

这就是为什么我们要把 $m$ 的范围限制在 $[0, b - 1]$ 。模运算相当于一个等价关系，由于当 $m$ 取不同值的时候， $m a$ % $b$ 一定为不同值，所以我们可以把 $m a$ 作为一个划分块的代表元素

我们也可以证明，当 $x$ 的范围为 $[0, b - 1]$ 的时候， $n = a x + b y$ 的表示方法唯一（指当 $n, a, b$ 定了之后， $(x, y)$ 唯一，如果存在的话）

仍然反证，设 $n = a x_{1} + b y_{1} = a x_{2} + b y_{2}$ （显然 $x_{1} \neq x_{2}$ ，不然的话 $y_{1} = y_{2}$ ，这样就是相同的 $(x, y)$ 了），则有 $a x_{1} \equiv a x_{2} (m o d b)$ ，根据我们上面的推导，这是不可能的