[NOIP2017 提高组] 小凯的疑惑 / [蓝桥杯 2013 省] 买不到的数目
这肯定是学证明了,看这篇文章
补充一下细节
首先,\(m\)的范围应该是\([0,b-1]\)
然后,当\(m\)取不同值的时候,\(ma\)%\(b\)一定为不同值(这个性质确实有点奇特,可以记下来)
反证,如果\(m_1a\equiv m_2a \: (mod\: b)\)且\(0≤m_1<m_2≤b-1\),那么就有\(b|(m_2-m_1)a\),题目给出了\(a,b\)互质,所以说一定有\(b|(m_2-m_1)\),然而\(m_2-m_1<b\),显然不可能
这就是为什么我们要把\(m\)的范围限制在\([0,b-1]\)。模运算相当于一个等价关系,由于当\(m\)取不同值的时候,\(ma\)%\(b\)一定为不同值,所以我们可以把\(ma\)作为一个划分块的代表元素
我们也可以证明,当\(x\)的范围为\([0,b-1]\)的时候,\(n=ax+by\)的表示方法唯一(指当\(n,a,b\)定了之后,\((x,y)\)唯一,如果存在的话)
仍然反证,设\(n=ax_1+by_1=ax_2+by_2\)(显然\(x_1≠x_2\),不然的话\(y_1=y_2\),这样就是相同的\((x,y)\)了),则有\(ax_1\equiv ax_2(mod\: b)\),根据我们上面的推导,这是不可能的
当然这里也可以直接按照等价类来理解