模意义下的乘法逆元 2

设\(S_n=\prod_{i=1}^{n}a_i\)，像阶乘求逆元一样，我们倒推

有\(a_n\cdot a_n^{-1}\equiv 1(mod \: p)\)，即\(\frac{S_n}{S_{n-1}}\cdot a_n^{-1}\equiv 1(mod \: p)\)，于是有\(a_n^{-1}\equiv S_{n-1}\cdot S_n^{-1}\)

转而求\(S_n^{-1}\)，有\(S_n\cdot S_n^{-1}\equiv 1(mod \: p)\)，即\(\frac{S_{n+1}}{a_{n+1}}\cdot S_n^{-1}\equiv 1(mod \: p)\)，故\(S_n^{-1}\equiv a_{n+1}S_{n+1}^{-1}(mod \: p)\)，倒推即可