Sofia and Strings

看这篇题解

不可逆指的是一旦操作了，就没办法回到原来的序列了，所以根据决策包容性，尽量到后面再操作

我们先来考虑一下最终的对应至少满足什么条件

假设我们现在已经获得了一个\(t\)到\(s\)的单射且这个单射可以通过排序变成\(t\)，我们依次考虑每一个\(t\)的字符

对于\(t_1\)，我们假设其对应\(s_{i_1}\)，那么对于\(s[1...i_1-1]\)，比\(t_1\)小的字符一定是都会被删除的（否则\(t_1\)不可能排到第一位）

我们对每个\(t_j\)都考虑上述过程，当\(t[1...j-1]\)都被考虑之后，我们来考虑\(t_j\)，假设其对应\(s_{i_j}\)，对于\(s[1...i_j-1]\)的字符，如果没被删除且没有被\(t[1...j-1]\)选择且小于\(t_j\)，那么我们就将其删除。注意对于每个\(t_j\)我们对应的\(s_{i_j}\)一定是没有被删除的，用反证法很容易证明

所以任意一个合法的单射一定可以通过上述测试

那我们再来考虑找一个匹配，先只考虑有删除操作（也就是说我们要按照某种方式找一个\(t\)到\(s\)的单射，有可能可以通过排序来变成\(t\)，而且如果按照这种方式，单射不存在那么无论按照什么方式来找单射，单射肯定都不会存在）

对于\(t\)的第一个字符\(t_1\)，他在\(s\)中有若干对应，分别是\(s_{i_1},s_{i_2},...(i_1<i_2<...)\)，我们假设在最终方案中选一个\(s_{i_p}\)，对于\(s[1...i_p-1]\)，比\(s_{i_p}\)小的字符是一定要删除的（否则\(t_1\)不可能排在第一位，这个单射就不可能通过排序来变成\(t\)了）；如果我们不选择\(s_{i_1}\)，那么我们就会删除更多的数（比如选择\(s_{i_2}\)，首先对于选择\(s_{i_1}\)的时候，要删除的数肯定还是要删除，然后现在还多了一些介于\(i_1\)和\(i_2\)之间数可能要被删除），于是如果存在合法的方案，我们在这个方案中，将选择\(s_{i_2}\)变成选择\(s_{i_1}\)一定是合法的，因为我们继续接下来的操作，如果某次操作会因为介于\(i_1\)和\(i_2\)之间数没有被删除而无法进行的话，我们这个时候在删除就好了，这也是决策包容性的一种体现

利用数学归纳法，我们可以得出一种方案，假设对于\(t[1...i-1]\)我们已经选择了最佳的方案，那么对于\(t_{i}\)，我们首先找到其在剩下的\(s\)中的第一个位置\(s_p\)，然后对于\(s[1...p-1]\)的还没有被删除且没有被\(t[1...i-1]\)选择的字符，如果其小于\(t_i\)，那么我们就删除掉。经过以上的过程，这一定是必要条件，也就是说如果上面的过程中途出现了不合法，找不到单射，那么就一定不会有单射存在了

那么对于我们找到的这个单射，我们也可以通过排序将其变成合法的序列。我们只需要在\(t_i\)对应的过程中，删除完前面该删除的字符之后，通过类似冒泡排序的邻项交换将其交换到\(t_{i-1}\)后面一位就好了