Colorful Grid

当$k<n+m-2$的时候，显然是不可以的

然后我们接下来一个一个试

当$k=n+m-2$的时候，显然没问题

当$k=n+m-1$的时候，我们无论怎么走，总要把多的这一步走掉（而且不是往右边或者下边走，而是往上边或者左边走，当然不能跟上一步重合），但是这样就还需要再多一步才能走到，即这种情况下至少需要$n+m$步，显然就不可以

当$k=m+n$的时候，像我们上面说的这么走就好了

当$k=n+m+1$的时候仍然是不可以的

当$k>n+m+1$的时候，我们一直绕着$(1,1)->(1,2)->(2,2)->(2,1)->(1,1)$绕圈圈，每绕一圈就会少四步，最终会转换成上面四种情况之一

update 2024.7.21

这是构造方法之一的坍塌法

重新做的时候，我们用一种新的方法来进行证明（思路借鉴离散数学课中利用二进制编码证$k$-正则图无奇环的做法）

每走一步会让坐标第一分量或第二分量加减一，设$a_x,a_y$表示坐标第一/第二分量加一的步数数量，$b_x,b_y$表示坐标第一/第二分量减一的步数数量

那么有$1+a_x-b_x=n,1+a_y-b_y=m$

所以$a_x-b_x=n-1,a_y-b_y=m-1$

先按$(1,1)->(1,2)->(2,2)->(2,1)->(1,1)$绕圈圈，将$k$减小，如果可以减少到$n+m-2$或者$n+m$，那么由上文找到了构造方法；如果减到了$n+m-1$或$n+m+1$，那么就说明$k$的奇偶性与$n-1+m-1=n+m-2$不同，而$k=a_x+b_x+a_y+b_y$且有一个小trick是$x+y$和$x-y$的奇偶性一样，说明$k$的奇偶性与$n+m-2$的奇偶性一样，这就矛盾了，所以无解