Colorful Grid

当\(k<n+m-2\)的时候，显然是不可以的

然后我们接下来一个一个试

当\(k=n+m-2\)的时候，显然没问题

当\(k=n+m-1\)的时候，我们无论怎么走，总要把多的这一步走掉（而且不是往右边或者下边走，而是往上边或者左边走，当然不能跟上一步重合），但是这样就还需要再多一步才能走到，即这种情况下至少需要\(n+m\)步，显然就不可以

当\(k=m+n\)的时候，像我们上面说的这么走就好了

当\(k=n+m+1\)的时候仍然是不可以的

当\(k>n+m+1\)的时候，我们一直绕着\((1,1)->(1,2)->(2,2)->(2,1)->(1,1)\)绕圈圈，每绕一圈就会少四步，最终会转换成上面四种情况之一

update 2024.7.21

这是构造方法之一的坍塌法

重新做的时候，我们用一种新的方法来进行证明（思路借鉴离散数学课中利用二进制编码证\(k\)-正则图无奇环的做法）

每走一步会让坐标第一分量或第二分量加减一，设\(a_x,a_y\)表示坐标第一/第二分量加一的步数数量，\(b_x,b_y\)表示坐标第一/第二分量减一的步数数量

那么有\(1+a_x-b_x=n,1+a_y-b_y=m\)

所以\(a_x-b_x=n-1,a_y-b_y=m-1\)

先按\((1,1)->(1,2)->(2,2)->(2,1)->(1,1)\)绕圈圈，将\(k\)减小，如果可以减少到\(n+m-2\)或者\(n+m\)，那么由上文找到了构造方法；如果减到了\(n+m-1\)或\(n+m+1\)，那么就说明\(k\)的奇偶性与\(n-1+m-1=n+m-2\)不同，而\(k=a_x+b_x+a_y+b_y\)且有一个小trick是\(x+y\)和\(x-y\)的奇偶性一样，说明\(k\)的奇偶性与\(n+m-2\)的奇偶性一样，这就矛盾了，所以无解