卡尔文球锦标赛

真实讨厌$10000$过$n^2$的题目。。。

首先这道题目要明白是怎么按照字典序排序的。由于球队都是按照球队里面最小编号的人排序的，我们就从小到大地考虑每个人在哪一支球队。对第$i$个人来说，他可以加入之前的一个球队（此时之前要出现过这支球队），也可以新组建一支球队（此时新组建的这个球队的编号是之前球队最大编号加一）

但是现在还是没有什么思路，于是我们像装饰围栏这道题目一样直接先尝试用试填法：假设我们当前考虑到了第$i$位，我们枚举第$i$位的数字是什么，假设是$j$

当$j<a_i$时，注意题目给的序列一定是合法的，也就是说$a_i$要么等于$\stackrel{i-1}{\underset{k=1}{max}}{a}_k+1$，要么属于$[1,\stackrel{i-1}{\underset{k=1}{max}}{a}_k]$，那么我们只用考虑：剩下的$n-i$个人，第一个人可以填$[1,\stackrel{i-1}{\underset{k=1}{max}}{a}_k+1]$的所有合法的序列个数

当$j=a_i$时，我们接着往下面考虑就好了

按照以上想法，不难设计出状态：$f[i][j]$表示有$i$个人，第一个人可以填的数字为$[1,j]$的总方案数。注意此时表示前面已经填了的数字为$[1,j-1]$，所以有$f[i][j]=(j-1)\times f[i-1][j]+f[i-1][j+1]$，前面的乘积项表示第一个人填的数字为$[1,j-1]$，后面的一项表示第一个人填的数字为$j$

这里肯定要用滚动数组优化。如果只是求出$f$，那么普通的滚动数组优化就好了，然而我们求数组的方向与用数组的方向却不一致。就是说，假设我们在试填中（这里滚动数组优化，肯定必须边试填边求$f$）让$i$从$1$开始逐渐增大到$n$，那么我们当前求的是$f[i]$，用的确实$f[n-i]$，这肯定就没有办法；于是我们必须要让两者方向一致，由于是DP数组在滚动，所以我们方便“用”的一方。具体见代码。注意，代码中f[j]=((ll)(j-1)*f[j]+f[j+1])%p;求的$f[j]$表示的是$f[n-i+1][j]$