XOR Break — Game Version

其实做了两道博弈的交互题后可以知道，博弈的交互题一般是需要你找到一种必胜的策略的，而且这种必胜的策略与非交互题还不同，因为对方可能不是按照最优策略走的，所以我们要找的是在任意一种情况下对面怎么走都能胜的条件，而且要对每一种情况都做出对应的策略（非交互题的话，我们是知道对方一定会走某一个最优的方向的）

那么对于这道题目，可以从简单一点的情况进行讨论，比如从当前的数字的二进制位只有一个$1$，两个$1$等等，然后我们就可以发现官解说的两个fact

其实我自己做的时候，就差fact2的最后一步证明了TT，没有想到把最高位的$1$给弄走，只看到了我们分了之后，对方是可以增加$1$的个数的，然后就可能导致游戏无法在指定轮数中结束，但却忽视了对面增加的$1$的个数是有限的，增加的$1$的位置是不能超过最高位的这一事实，以后一定要注意啊！

update 2024.7.17

这道题目就告诉我们，位运算的题目除了从高位到低位考虑，还可以考虑$1$的个数

我重新做一遍的时候，想出来了两个fact的，但是想到的是删除最低位的$1$而不是最高位的，不知道是否可以