XOR Break — Solo Version

这道题目就是纯纯的题面搞人心态，看到\(63\)次操作真的很容易想到从高位到低位一位位进行操作。然而正解却不是

先来看官解

首先每次操作只会将\(n\)变小，所以如果\(m>n\)，那么肯定无解；如果\(m=n\)那么不用操作；接下来假定\(m<n\)（其实题面给了\(m\)的范围，小于\(n\)）

如果\(m\)最高位\(1\)和\(n\)最高位\(1\)一样，那么直接令\(y=m,n=y\)即可

如果\(m\)最高位\(1\)在\(n\)次高位\(1\)之后（也可以刚好在次高位\(1\)的位置），那么我们令\(y\)为\(2^b-1\)，其中\(b\)是次高位\(1\)所在位置。比如\(n=1001000\)，则\(y=1111\)（相当于把次高位\(1\)及其后面的所有位全部变成\(1\)），然后令\(n=y\)。如果此时\(m=n\)那么不用再操作，否则的话\(m\)就变成了\(n\)的子集，很容易构造

如果\(m\)最高位\(1\)在\(n\)最高位\(1\)和\(n\)次高位\(1\)之间，那么此时无解，官方解答给出了一个reason，但是看不太懂。。。下面我会说我的证法

然后说说我的想法

很自然的一个想法就是从高到低地考虑，我们还是直接假设\(m<n\)

如果\(m\)最高位\(1\)对应的\(n\)的位为\(1\)，那么令\(y=m,n=y\)即可

如果\(m\)最高位\(1\)对应的\(n\)的位为\(0\)，那么我们考虑\(n\)比这更高的位的\(1\)的个数

如果\(1\)的个数超过一个，那么我们任取其中两个\(1\)，令更高位的\(1\)所对应的位置赋\(0\)，更低位的\(1\)所对应的位置赋\(1\)，然后再将\(m\)最高位的\(1\)的位置赋\(1\)，然后把刚刚得到的数令成\(y\)，然后令\(n\)与\(y\)异或，这样\(m\)就变成了\(n\)的子集了

如果\(1\)的个数只有一个，那么此时无解，因为如果有解，那么对某种操作序列，一定会存在某次操作，将\(m\)的最高位所对应的\(n\)的位置变成\(1\)，即\(y\)在\(m\)的最高位这里要取\(1\)，根据题目，此时\(y\)在\(n\)的最高位无论取\(1\)还是\(0\)都是不行的（假设此次操作的时候，\(n\)的更高位仍然只有一个\(1\)），所以我们一定会在这种操作的前面将\(n\)的更高位变成两个\(1\)，相当于就是将\(n\)的某一位\(0\)变成\(1\)，其实就是上面的过程，然后你会发现就循环论证了，所以不可能