XOR Break — Solo Version

这道题目就是纯纯的题面搞人心态，看到$63$次操作真的很容易想到从高位到低位一位位进行操作。然而正解却不是

先来看官解

首先每次操作只会将$n$变小，所以如果$m>n$，那么肯定无解；如果$m=n$那么不用操作；接下来假定$m<n$（其实题面给了$m$的范围，小于$n$）

如果$m$最高位$1$和$n$最高位$1$一样，那么直接令$y=m,n=y$即可

如果$m$最高位$1$在$n$次高位$1$之后（也可以刚好在次高位$1$的位置），那么我们令$y$为$2^b-1$，其中$b$是次高位$1$所在位置。比如$n=1001000$，则$y=1111$（相当于把次高位$1$及其后面的所有位全部变成$1$），然后令$n=y$。如果此时$m=n$那么不用再操作，否则的话$m$就变成了$n$的子集，很容易构造

如果$m$最高位$1$在$n$最高位$1$和$n$次高位$1$之间，那么此时无解，官方解答给出了一个reason，但是看不太懂。。。下面我会说我的证法

然后说说我的想法

很自然的一个想法就是从高到低地考虑，我们还是直接假设$m<n$

如果$m$最高位$1$对应的$n$的位为$1$，那么令$y=m,n=y$即可

如果$m$最高位$1$对应的$n$的位为$0$，那么我们考虑$n$比这更高的位的$1$的个数

如果$1$的个数超过一个，那么我们任取其中两个$1$，令更高位的$1$所对应的位置赋$0$，更低位的$1$所对应的位置赋$1$，然后再将$m$最高位的$1$的位置赋$1$，然后把刚刚得到的数令成$y$，然后令$n$与$y$异或，这样$m$就变成了$n$的子集了

如果$1$的个数只有一个，那么此时无解，因为如果有解，那么对某种操作序列，一定会存在某次操作，将$m$的最高位所对应的$n$的位置变成$1$，即$y$在$m$的最高位这里要取$1$，根据题目，此时$y$在$n$的最高位无论取$1$还是$0$都是不行的（假设此次操作的时候，$n$的更高位仍然只有一个$1$），所以我们一定会在这种操作的前面将$n$的更高位变成两个$1$，相当于就是将$n$的某一位$0$变成$1$，其实就是上面的过程，然后你会发现就循环论证了，所以不可能