货币兑换

首先这道题目，记得把题面看完，最后一句话是给了提示的。。。

肯定考虑DP嘛，但DP不太清楚怎么设置状态，而且不清楚一天到底交易多少次

我们先来解决第二个问题，由于这是一道可以被解决的题目，所以我们猜想交易的次数非常有限

根据题目最后的提示，某一天的开端，我们要么全部都是钱，要么全部都是股票

假设某一天的开端，我们全部都是钱，一共有\(IP\)这么多钱，那么我们可以选择不操作；如果选择操作，那么一定是全部买完。通过列方程不难得出，获得的股票\(B\)的数量是\(x_B=\frac{IP}{A_kRate_k+b_k}\)，获得的股票\(A\)的数量是\(x_A=Rate_k\times x_B=\frac{Rate_kIP}{A_kRate_k+b_k}\)。如果我们选择再全部卖出，那么获得的钱为\(x_AA_k+x_BB_k=IP\)，与最开始的钱是一样的。综上，我们要么不操作，要么只操作一次，把所有钱都换成股票

假设某一天的开端，我们全部都是股票，假设有两种股票分别有\(x_A\)和\(x_B\)这么多，我们可以选择不操作；如果操作，我们获得的钱是\(x_AA_k+x_BB_k\)，如果再全部买回来，我们有\(x_B^{'}=\frac{x_AA_k+x_BB_k}{A_kRate_k+b_k}\)，\(x_A=Rate_k\times x_B=\frac{Rate_k(x_AA_k+x_BB_k)}{A_kRate_k+b_k}\)，发现跟最开始长得好像不一样，别慌，继续卖，我们发现又会获得相同的钱\(x_AA_k+x_BB_k\)。综上，我们要么不操作，要么操作一次全部卖出变成钱，要么操作两次变成比例不一样的股票（其实全变成钱之后就回到了上面一段所叙述的情况了）

但发现到这里还是没有什么办法DP，我们只是把每一天的操作局限在了两次以内，这个时候我们就先设置\(f[i]\)表示第\(i\)天能够获得的最多的钱，然后考虑如何DP下去

我们考虑当达到第\(i\)天的开始的时候，我们一定是要么全是钱，要么全是股票

对于第一种情况，有\(f[i]=f[i-1]\)（注意我们状态设置的是最多有多少钱，所以在第\(i\)天结束时，一定会全部转换成钱）

对于第二种情况，我们考虑这些股票是在什么时候交易过来的，也就是说上一次把所有钱变成股票是什么时候。我们枚举这个时候，假设这个时候是第\(j\)天，那么有\(f[i]=x_jA_i+y_jB_i\)，其中\(y_j=\frac{f[j]}{A_jRate_j+B_j},x_j=Rate_jy_j\)

出现了\(i\)和\(j\)的乘积，感觉是斜率优化，但是又跟一般的斜率优化，不太一样，因为有两项乘积，别怕，我们这个时候随便提出某一项跟\(i\)有关的常量（注意一定要提取跟\(i\)有关的，因为当\(i\)固定的时候，这是常量），有\(f[i]=B_i(x_j\frac{A_i}{B_i}+y_j)\)，这个时候就是普通的斜率优化了，我们用李超线段树即可。但要注意这里的\(\frac{A_i}{B_i}\)是实数，我们需要先离散化

其实最开始那一大堆数学分析看起来并没有什么用，然而他可以帮助我们理解整个过程，而且蕴含的思想（一天不会交易很多次）在有些题目也是很重要的

update 2024.7.6

其实我们很想设出我们当前手上的券的数目，然而我们发现显然复杂度会爆炸，所以上面枚举的策略也是一种解决方法