货币兑换

首先这道题目，记得把题面看完，最后一句话是给了提示的。。。

肯定考虑DP嘛，但DP不太清楚怎么设置状态，而且不清楚一天到底交易多少次

我们先来解决第二个问题，由于这是一道可以被解决的题目，所以我们猜想交易的次数非常有限

根据题目最后的提示，某一天的开端，我们要么全部都是钱，要么全部都是股票

假设某一天的开端，我们全部都是钱，一共有$IP$这么多钱，那么我们可以选择不操作；如果选择操作，那么一定是全部买完。通过列方程不难得出，获得的股票$B$的数量是$x_B=\frac{IP}{A_{k}Rat{e}_k+b_k}$，获得的股票$A$的数量是$x_A=Rat{e}_k\times x_B=\frac{Rat{e}_{k}IP}{A_{k}Rat{e}_k+b_k}$。如果我们选择再全部卖出，那么获得的钱为$x_A{A}_k+x_B{B}_k=IP$，与最开始的钱是一样的。综上，我们要么不操作，要么只操作一次，把所有钱都换成股票

假设某一天的开端，我们全部都是股票，假设有两种股票分别有$x_A$和$x_B$这么多，我们可以选择不操作；如果操作，我们获得的钱是$x_A{A}_k+x_B{B}_k$，如果再全部买回来，我们有$x_B^{{}^{\prime }}=\frac{x_A{A}_k+x_B{B}_k}{A_{k}Rat{e}_k+b_k}$，$x_A=Rat{e}_k\times x_B=\frac{Rat{e}_k(x_A{A}_k+x_B{B}_k)}{A_{k}Rat{e}_k+b_k}$，发现跟最开始长得好像不一样，别慌，继续卖，我们发现又会获得相同的钱$x_A{A}_k+x_B{B}_k$。综上，我们要么不操作，要么操作一次全部卖出变成钱，要么操作两次变成比例不一样的股票（其实全变成钱之后就回到了上面一段所叙述的情况了）

但发现到这里还是没有什么办法DP，我们只是把每一天的操作局限在了两次以内，这个时候我们就先设置$f[i]$表示第$i$天能够获得的最多的钱，然后考虑如何DP下去

我们考虑当达到第$i$天的开始的时候，我们一定是要么全是钱，要么全是股票

对于第一种情况，有$f[i]=f[i-1]$（注意我们状态设置的是最多有多少钱，所以在第$i$天结束时，一定会全部转换成钱）

对于第二种情况，我们考虑这些股票是在什么时候交易过来的，也就是说上一次把所有钱变成股票是什么时候。我们枚举这个时候，假设这个时候是第$j$天，那么有$f[i]=x_j{A}_i+y_j{B}_i$，其中$y_j=\frac{f[j]}{A_{j}Rat{e}_j+B_j},x_j=Rat{e}_j{y}_j$

出现了$i$和$j$的乘积，感觉是斜率优化，但是又跟一般的斜率优化，不太一样，因为有两项乘积，别怕，我们这个时候随便提出某一项跟$i$有关的常量（注意一定要提取跟$i$有关的，因为当$i$固定的时候，这是常量），有$f[i]=B_i(x_j\frac{A_i}{B_i}+y_j)$，这个时候就是普通的斜率优化了，我们用李超线段树即可。但要注意这里的$\frac{A_i}{B_i}$是实数，我们需要先离散化

最开始那一大堆数学分析可以帮助我们理解整个过程，而且蕴含的思想（一天不会交易很多次）在有些题目也是很重要的

update 2024.7.6

其实我们很想设出我们当前手上的券的数目，然而我们发现显然复杂度会爆炸，所以上面枚举的策略也是一种解决方法

update 2024.9.11

首先我们知道这是一道可以解决的题目，于是我们可以猜想每天的交易次数有限，所以有了上面一大堆数学分析帮助我们厘清过程；现在我们想将每天拥有的股票数量设在维度里面，但是股票的数量显然有可能是实数且复杂度会爆炸，所以不行，一般这种时候就是可行性转最优性，但是这里已经是最优性了，所以我们只能进行取舍，假设$f[i]$表示到了第$i$天最多拥有的钱数，于是有了上面的方法（相当于时间换空间了）；列出来式子之后显然是化成普通的斜率优化的形式，但是现在发现$x_j,\frac{A_i}{B_i}$不一定递增，于是只能用CDQ分治/平衡树。但是题解给我们介绍了一种利用李超线段树优化的方法，显然对任意的斜率优化题目都适用，所以记住。然后看一下实数怎么离散化