Insert and Equalize

这道题目为什么赛时做了40min呢？为啥呢？我寻思着猜也能猜出来吧

主要原因：没有认真的写式子，写代码不认真，还没有认真地估计时间复杂度导致T了一次。以后要想清楚再写啊！

但是赛时还是用猜的吧，看看样例，估下时间复杂度就知道直接用gcd就好了（不然肯定TLE了）

真正的证明感觉难度都有蓝了

我们先对 $a$ 进行排序（只对 $[1, n]$ 排序，下文的 $a_{n + 1}$ 都指代新加入的数，不一定是最大数），肯定不会影响答案

首先我们写出一个连等式， $a_{1} + t_{1} x = a_{2} + t_{2} x = . . . = a_{n} + t_{n} x = a_{n + 1} + t_{n + 1} x$

这种式子，一个很常见的技巧就是对 $x$ 取模，于是 $a_{1} \equiv a_{2} \equiv . . . \equiv a_{n} \equiv a_{n + 1} (m o d x)$

作差有 $0 \equiv a_{2} - a_{1} \equiv . . . \equiv a_{n} - a_{n - 1} \equiv a_{n + 1} - a_{n} (m o d x)$

可知 $x$ 一定是相邻两项差的公约数

如果我们加入的 $a_{n + 1}$ 是序列的最大数，那么我们让所有数都变成 $a_{n + 1}$ 肯定是最优的，有 $a n s = \sum_{i = 1}^{n} \frac{a_{n + 1} - a_{i}}{x} = \frac{n a_{n + 1} - s u m}{x}$ ，其中 $s u m = \sum_{i = 1}^{n} a_{i}$

如果我们加入的数不是最大数，那么最大数还是 $a_{n}$ ，答案就是 $a n s = \sum_{i = 1}^{n - 1} \frac{a_{n} - a_{i}}{x} + \frac{a_{n} - a_{n + 1}}{x} = \frac{(n + 1) a_{n} - s u m - a_{n + 1}}{x}$

我们再来考虑一下没有加入 $a_{n + 1}$ 的时候的答案，为 $a n s = \frac{n a_{n} - s u m}{x}$

显然当 $x$ 为最大公约数 $d$ 的时候 $a n s$ 最小

所以我们猜测当我们加入的数不是最大数的时候，也是 $x$ 为 $d$ 的时候 $a n s$ 最小

证明：当 $x = d$ 时，有 $a n s \leq \frac{n a_{n} - s u m}{d} + n$ （因为此时 $a_{n + 1}$ 一定为 $a_{n} + k d$ ，其中 $k$ 为负整数；由于 $a_{n + 1}$ 没有出现过，当 $t_{1}, t_{2}, . . ., t_{n}$ 取遍 $[0, n - 1]$ 时， $a_{n + 1}$ 的贡献就是 $n$ ，所以是加上 $n$ ）；当 $x \neq d$ 时， $x \leq \frac{d}{2}$ （有结论：公约数一定是最大公约数的约数），则 $a n s \geq 2 \times \frac{n a_{n} - s u m}{d} + \frac{a_{n} - a_{n + 1}}{x}$ ；要证 $a n s \geq \frac{(n + 1) a_{n} - s u m - a_{n + 1}}{d}$ ，即证 $2 \times \frac{n a_{n} - s u m}{d} + \frac{a_{n} - a_{n + 1}}{x} \geq \frac{n a_{n} - s u m}{d} + n$ ，即 $\frac{n a_{n} - s u m}{d} + \frac{a_{n} - a_{n + 1}}{x} \geq n$ ；由于 $x \leq a_{n} - a_{n + 1}$ （注意 $x$ 是包括 $a_{n + 1}$ 在内的相邻两项的差，自然也就小于 $a_{n + 1}$ ），故 $\frac{n a_{n} - s u m}{d} + \frac{a_{n} - a_{n + 1}}{x} \geq \frac{n a_{n} - s u m}{d} + 1 \geq \frac{n (n - 1)}{2} + 1$ ；故即证 $\frac{n (n - 1)}{2} + 1 \geq n$ ，当 $n \geq 2$ 时显然成立

我们也可以证明当加入的数是最大数的时候是不会更优的，这个比较简单，就不写了

update 2024.7.14

重新做一遍这道题目，还是做出来了

看到这道题目首先从 $a_{n + 1}$ 下手，但是发现不太好做，然而题目除了 $a_{n + 1}$ 这个对象还有 $x$ 这个对象，于是从 $x$ 开始下手，然后不难得出上面的结论（注意结论是充要的，也就是说如果 $x$ 是相邻两项差的最大公约数的约数，那么一定符合条件），然后加入的 $a_{n + 1}$ 一定是小于 $a_{n}$ 的，这个稍微想一下就想出来了（注意如果 $x$ 定了， $a_{n + 1}$ 一定是 $a_{n}$ 加减 $x$ 的若干倍所得到的数）；至于猜 $x$ 为 $d$ ，从样例入手就好了