天使玩偶

来解释一下许多细节和疑问

在简化问题考虑左下中，为什么按照横坐标从小到大排序就好了？不应该还要以纵坐标为第二关键字排序吗？不然有可能某次询问$(x,y)$的下面一个点$(x_i,y_i)$（$(y_i<y)$）还没有更新就轮到$(x,y)$了，这就无法统计了啊？

答：如果单独考虑左下的话，这个做法确实有问题，也的确需要以纵坐标为第二关键字排序。但是如果考虑四个方向的话，只以横坐标排序就是没问题的，上面说的这种情况会在其他时候被统计到。比如就说上面说的这种情况，那么当这种情况出现的时候，我们左下的确是无法统计$(x,y)$的，但是轮到统计右下的时候，我们此时（相对于左下）是倒着循环的，之前在左下没有被先添加进去的$(x_i,y_i)$说明他在序列中的位置在$(x,y)$之后，所以此时就一定会被先添加，然后就会被统计了

为什么可以用树状数组统计没有可加性的最大值？

答：我们考虑一下为什么树状数组不能统计最大值。翻到蓝书的P203，看看那个树状数组的图，想一下如果我们没有修改操作而是只有初始的序列，那么我们如何更新树状数组？答案当然就是对每一个树状数组，对他的所有儿子取最大值（比如$c[16]=max(c[8],c[12],c[14],c[15],a[16])$），没有修改操作的情况下，这个显然是对的（$c[i]$维护的就是$[i-lowbit(i)+1,i]$的最大值）。那我们现在加入修改操作。如果我们将$a[i]$修改为$k$，用最暴力的方法，如果更新$c$数组？这里不太好用文字说明，我先举一个例子。比如修改$a[12]$，那我们先找到$c[12]$，令$c[12]=max(c[10],c[11],k)$，然后再找到$c[16]$，令$c[16]=max(c[8],c[12],c[14],c[15],a[16])$。所以就是找到对应位置的树状数组，然后一路往上，对经过的每一个节点，都要重新对其所有儿子取最大值。之所以要这么做，是因为有可能会出现一种情况，比如$c[12]$刚好等于$a[12]$，而$a[12]$恰好又是$[9,12]$的严格最大值，而我们修改的$k$刚好严格小于$a[12]$，这下就没办法直接说明$c[12]$最新的最小值了，所以我们必须比较暴力的更新。然而对于一般的问题来说，即使我们暴力更新了，我们也没办法查询$[l,r]$的最大值，因为最大值是没有可加性的。但是回到这一道题目，可以证明，四个方向都不会出现上述说明的情况，比如统计左下方的时候，扫描到一个点$(x_i,y_i)$，由于我们按照了$x$从小到大排序，此时修改序列的$a[y_i]$，一定能被修改成功（也就是上文说的$k$一定大于$a[y_i]$），于是就不会出现上文说的情况，所以就可以像代码一样区间更新。而这道题目刚好又是只用查询$[0,y]$的最大值，所以即使不满足可加性问题也不大

为什么统计左上的时候修改的位置要变为${10}^6-y_i$？

答：就像上文提到的，这里之所以能用树状数组是因为我们不用满足可加性，查询的是$[0,y]$，这里为了继续利用这个性质，由于我们此时要查询的是$[y,{10}^6]$，所以我们要把他倒过来统计

最后提一嘴时间复杂度的计算，一共有$log(N+M)$层，每层的总时间复杂度$(N+M)log(N+M)$，所以时间复杂度为$O((N+M)lo{g}^2(N+M))$

代码就看打卡代码，写的很好，学习简化代码的技巧

另外这道题目可以转化成三维偏序问题，加入时间维即可，也就是二维偏序+动态修改