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这道题目是很明显的无穷嵌套DP，准备写出一堆方程后化简，又看到数据范围想到了状态压缩

设\(f[i]\)表示手上已经有了\(i\)的卡片，集齐所有卡片的期望

这道题目还有个方法：容斥原理

设 \(X\) 为集齐全部 \(n\) 种卡片所需的购买次数，第 \(i\) 种卡片单次出现的概率为 \(p_i\)（\(\sum p_i \le 1\)）。则

\[\mathbb{E}[X]=\sum_{\emptyset\neq S\subseteq \{1,\dots,n\}}(-1)^{|S|+1}\frac{1}{\sum_{i\in S}p_i}. \]

推导

对非负整数随机变量，

\[\mathbb{E}[X]=\sum_{k=0}^{\infty}P(X>k). \]

事件 \(X>k\) 表示前 \(k\) 次购买中至少有一种卡片未出现。设 \(A_i\) 为“前 \(k\) 次未出现第 \(i\) 种卡片”，则根据容斥原理

\[P(X>k)=P\left(\bigcup_{i=1}^n A_i\right)=\sum_{\emptyset\neq S}(-1)^{|S|+1}P\left(\bigcap_{i\in S}A_i\right). \]

一次购买不出现 \(S\) 中任何卡片的概率为 \(1-\sum_{i\in S}p_i\)，故

\[P\left(\bigcap_{i\in S}A_i\right)=\left(1-\sum_{i\in S}p_i\right)^k. \]

代入期望并交换求和：

\[\mathbb{E}[X]=\sum_{\emptyset\neq S}(-1)^{|S|+1}\sum_{k=0}^{\infty}\left(1-\sum_{i\in S}p_i\right)^k =\sum_{\emptyset\neq S}(-1)^{|S|+1}\frac{1}{\sum_{i\in S}p_i}. \]