换教室

虽然我们知道，数学期望DP很多时候是要靠感性理解的

但是这道题目显然可以列出所有样本空间去考虑，在这种情况下我们就严谨一点

我们先设$f[i][j]$表示前$i$个课程申请了$j$个课程的最小期望路径

我们先考虑第$i$个课程不申请，那么$j$个课程全部都申请到了前$i-1$个课程里面

我们要想转移到$f[i][j]$，就必须要知道在第$i-1$的课程的时候我们在哪个教室

如果我们第$i-1$个课程没申请，那么可以通过样本空间知道这个时候的概率是$1$

如果我们第$i-1$个课程申请了，那么前面的样本空间又要被分成两批，一批的终点是$a[i-1]$教室，概率是$1-p[i-1]$；一批的终点是$b[i-1]$教室，概率是$p[i-1]$；然后再用对应的概率去乘以对应的路径

但是你就会发现这里就转移不走了：我们目前的状态没办法分清这么多信息

所以我们加维，从上述分析过程中不难得到，设$f[i][j][0/1]$表示前$i$个课程申请了$j$个课程且第$i$个课程是否申请的最小期望路径

然后就可以推走了

update 2024.5.4

对这道题目做一个更精确的阐释。

这里其实没有一个具体的样本空间。由于题目要求的是一次性申请，我们在递推$f[i][j][0/1]$的时候，相当于是对于前$i$个课程，我们有若干种一次性申请的方式，然后每一种方式都有自己的样本空间，然后通过自己的样本空间可以算出来自己的期望路径，所有不同申请方式算出来的期望路径取最小值就是$f[i][j][0/1]$（所以这里顺推的正确性可以保证）

所以如果题目说的不是一次性申请，而是根据已经申请到的结果来申请（依次申请每个课程），那么我们的方程的状态就不是第$i$个课程是否申请了，而是第$i$个课程是否申请通过，此时状态就是条件概率了，需要倒推

也就是说条件概率就是根据已经发生了的情况做决策