何老板请客2

第一类斯特林数板子题目，推倒可以像第二类类似推倒

第一类斯特林数的一些性质：

$$\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}n\\ n\end{array}\right]=1$$

$$\left[\begin{array}{c}n\\ 0\end{array}\right]=0$$

$$\left[\begin{array}{c}n\\ 1\end{array}\right]=(n-1)!$$

$$\left[\begin{array}{c}n\\ n-1\end{array}\right]=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})$$

$$\begin{gathered} \left[\begin{array}{c}n\\ 2\end{array}\right]=\frac{1}{2}\stackrel{n-1}{\sum _{i=1}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})(i-1)!(n-i-1)! \\ =\frac{1}{2}\stackrel{n-1}{\sum _{i=1}}\frac{n!}{i(n-i)} \\ =\frac{1}{2}(n-1)!\stackrel{n-1}{\sum _{i=1}}\frac{1}{i}+\frac{1}{n-i} \\ =(n-1)!\stackrel{n-1}{\sum _{i=1}}\frac{1}{i} \end{gathered}$$

$$\left[\begin{array}{c}n\\ n-2\end{array}\right]=2(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{3})+3(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{4})$$

，其中$2(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{3})$表示一个组是三个元素，剩下所有组都是一个元素，$3(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{4})$表示两个组是两个元素，剩下所有组都是一个元素

$$\stackrel{n}{\sum _{k=0}}\left[\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right]x^k=x(x+1)(x+2)...(x+n-1)$$

，这也就是第一类斯特林数的生成函数

证明：用数学归纳法即可，假设对于$n-1$来说，$x^k$的系数为$\left[\begin{array}{c}n-1\\ k\end{array}\right]$，那么对于$n$来说，$x^k$的系数就为$\left[\begin{array}{c}n-1\\ k-1\end{array}\right]+(n-1)\left[\begin{array}{c}n-1\\ k\end{array}\right]$，而这就是斯特林数的递推公式

$$\stackrel{n}{\sum _{k=0}}\left[\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right]=n!$$

证明：对上一个性质，令$x=1$即可